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1、,第六章 杆件的应力与强度,第六章 杆件的应力与强度,返回,【内容提要】 本章研究杆件在基本变形和组合变形时的应力与强度计算，介绍连接件的实用强度计算，并介绍应力状态的概念及主要结论。本章内容是杆件强度计算的核心。 【学习要求】 1. 熟练掌握拉压杆的应力与强度计算。 2. 掌握圆轴扭转时的应力与强度计算。了解切应力互等定理。 3. 熟练掌握梁弯曲时的应力与强度计算。了解提高梁弯曲强度的主要措施。 4. 掌握组合变形问题的分析方法。掌握斜弯曲、压缩（拉伸）与弯曲、偏心压缩（拉伸）杆件的应力与强度计算。了解截面核心的概念。 5. 了解工程中构件的连接方式。熟练掌握连接件的剪切和挤压强度计算。 6
2、. 理解应力状态的概念。掌握二向应力状态分析中的主要结论。了解梁的主应力迹线的概念。,第六章 杆件的应力与强度,第六章 杆件的应力与强度,返回,61 杆件拉（压）时的应力与强度,62 圆轴 扭转时的应力与强度,63 梁弯曲时的应力与强度,64 杆件在组合变形时的应力与强度,65 连接件的剪切与挤压强度,66 应力状态分析,目录,61 杆件拉（压）时的应力与强度,第六章 杆件的应力与强度杆件拉（压）时的应力与强度,61l 拉（压）杆横截面上的正应力,因为拉压杆横截面上的轴力沿截面的法向，所以横截面上只有正应力s。,观察拉压杆的变形：,平面假设： 根据这一现象，可假设变形前为平面的横截面，变形后仍
3、保持为平面。这就是平面假设。,目录,第六章 杆件的应力与强度杆件拉（压）时的应力与强度,受力必定相等。所以横截面上的法向分布内力是均匀分布的，即等于常量。,这个结论对于压杆也是成立的。,因为为常量，所以轴力FN等于正应力与横截面面积A的乘积，,即 FN A,或,这就是拉压杆横截面上正应力的计算公式。 正应力的符号和轴力FN的符号规定相同，即拉应力为正，压应力为负。,目录,第六章 杆件的应力与强度杆件拉（压）时的应力与强度,612 拉（压）杆的强度计算,为了保证拉(压)杆的正常工作，必须使杆内的 最大工作应力max不超过材料的许用应力,对于等直杆，有,上式称为拉(压)杆的强度条件。,根据强度条件
4、，可以解决以下三种类型的强度计算问题： (1)强度校核。已知杆的材料、尺寸和承受的荷载 (即已知、A和FNmax)，要求校核杆的强度是否足够。此时只须检查强度条件公式是否成立。,目录,第六章 杆件的应力与强度杆件拉（压）时的应力与强度,(2)设计截面。已知杆的材料、承受的荷载 (即已知和FNmax)，要求确定横截面面积或尺寸。为此，将强度条公式改写为,由此确定横截面面积。再根据横截面形状，确定横截面尺寸。,当采用工程中规定的标准截面（如型钢）时，可能会遇到为了满足强度条件而须选用过大截面的情况。为经济起见，此时可以考虑选用小一号的截面，但由此而引起的杆的最大正应力超过许用应力的百分数一般限制在
5、5%以内，即,目录,第六章 杆件的应力与强度杆件拉（压）时的应力与强度,(3)确定许用荷载。已知杆的材料和尺寸(即已知和A )，要求确定杆所能承受的最大荷载。为此，将强度条件公式改写为 FNmaxA 先算出最大轴力，再由荷载与轴力的关系，确定杆的许用荷载。,目录,第六章 杆件的应力与强度杆件拉（压）时的应力与强度,例6l 图示三角形托架，杆AB为直径d=20 mm的圆形钢杆，材料为Q235钢，许用应力=160 MPa，荷载F=45 kN。试校核杆AB的强度。,目录,第六章 杆件的应力与强度杆件拉（压）时的应力与强度,解 (1)计算杆AB的轴力。 取结点B为研究对象(图b)，列出平衡方程 Fx=
6、0，FN2cos45FN1=0 Fy=0，FN2sin45F=0 联立求解，得,FN1=F=45kN (2)强度校核。 杆横截面上的应力为,因此杆AB的强度足够。,目录,第六章 杆件的应力与强度杆件拉（压）时的应力与强度,例62 上例中，若杆AB由两根等边角钢组成(图c)，其他条件不变，试选择等边角钢的型号。,目录,第六章 杆件的应力与强度杆件拉（压）时的应力与强度,解 (1)计算杆AB的轴力。 由上例已算得杆AB的轴力为 FN1=45 kN (2)设计截面。 杆AB的横截面面积为,查型钢规格表，可选L253的等边角钢，其横截面面积为1.432 cm2=143.2 mm2。采用两根这样的角钢，
7、其总横截面面积为2143.2 mm2=286.4 mm2281.3 mm2，可满足要求。,目录,第六章 杆件的应力与强度杆件拉（压）时的应力与强度,例63 图示三角形托架中，若杆AB为横截面面积A1=480 mm2的钢杆，许用应力1=160 MPa ；杆BC为横截面面积A2=10 000 mm2的木杆，许用压应力2=10 MPa 。求许用荷载 F。,目录,第六章 杆件的应力与强度杆件拉（压）时的应力与强度,解 (1)求两杆轴力与荷载F的关系。 由结点B的平衡方程，可得,因此许用荷载为 F A1 =76800 N=76.8 kN,(2)求满足杆AB强度条件的许用荷载。 杆AB的许用轴力为 FN1
8、=F A11,目录,第六章 杆件的应力与强度杆件拉（压）时的应力与强度,(3)求满足杆BC强度条件的许用荷载。 杆BC的许用轴力为,因此许用荷载为,为了保证两杆都能安全地工作，许用荷载为 F=70.71 kN,目录,62 圆轴扭转时的应力与强度,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,62l 圆轴扭转时横截面上的切应力,圆轴扭转时，在横截面上存在着切应力。这是因为只有横截面上的切向微内力dA对圆心O的力矩，才能合成为扭矩T(如图)。,目录,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,取一等直圆轴，在圆轴表面画圆周线（代表横截面）和纵向线(如图)，在扭转外力偶Me作用下，可以观察到：
9、各圆周线绕轴线相对旋转了一个角度，但大小、形状和相邻圆周线间的离不变；各纵向线都倾斜了一个微小的角度。变形前表面上的方格，变形后错动成菱形。从上述观察到的现象，可得到圆轴扭转时的平面假设：即圆轴变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面。根据平面假设，圆轴扭转时，相邻两横截面就像刚性平面一样，绕轴线相对转动了一个角度。,目录,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式为（推导从略）,式中：T为横截面上的扭矩，以绝对值代入；为横截面上欲求应力的点处到圆心的距离；Ip为横截面对圆心的极惯性矩。,由公式可知，横截面上任一点处的切应力的大小与该点到圆
10、心的距离成正比。至于切应力的方向则与半径垂直，并与扭矩的转向一致（如图）。,目录,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,极惯性矩Ip是只与横截面形状、尺寸有关的几何量，常用单位为m4或mm4。,对于直径为d的圆形截面：,对于内、外径分别为d、D的圆环形截面：,其中,由切应力计算公式可知，在横截面边缘上各点，即=R处切应力最大，其值为,目录,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,式中，Wp=Ip/R称为扭转截面系数，常用单位为m3或mm3。对于圆形截面和圆环形截面：,目录,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,622 圆轴的扭转强度计算,对于等直圆轴，最大切应力ma
11、x发生在最大扭矩Tmax所在截面的边缘上各点处。为了保证圆轴能安全工作，要求max不超过材料的许用切应力，即强度条件为,目录,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,例64 某机器传动轴由空心钢管制成，钢管外径D=90 mm，内径d=85 mm，材料的许用切应力=60 MPa，轴传递的功率P=16 kW，转速n=100 rmin。试校核该轴的扭转强度。,解 (1) 计算外力偶矩和扭矩。 轴横截面上的扭矩T等于外力偶矩Me ，即,目录,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,(2) 校核轴的扭转强度。 轴内最大切应力为,可见该传动轴的强度是足够的。,目录,第六章 杆件的应力与强度
12、圆周扭转时的应力与强度,例65 若上例中的传动轴采用实心轴，其他条件保持不变，现要求它与原来的空心轴强度相同，试设计其直径，并比较空心轴与实心轴的重量。,解 (1) 确定实心轴的直径D1。 因为要求与例64中的空心轴强度相同，故实心轴的最大切应力也应为52.2 MPa，即,于是,目录,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,(2)比较空心轴与实心轴的重量。 上例中空心轴的横截面面积为,实心轴的横截面面积为,在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比，即,目录,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,由上可知，在载荷相同的情况下，强度相等的空心轴的重量仅为实
13、心轴的31，其在减轻重量、节约材料上是非常明显的。这可以用圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律来解释。对于实心圆截面(图a)，当其边缘的切应力达到最大值时，圆心附近的切应力很小，材料没有被充分利用。若把圆心附近材料向边缘移置，使其成为空心圆截面(图b)，就会增大Ip和Wp，从而提高轴的扭转强度。,(a),(b),目录,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,623 切应力互等定理,设矩形网格(图a)沿轴向长为dx，沿圆周向长为dy，以它作为一个面，再沿半径方向取长为dz，截出一个微小正六面体，称为单元体(图b)。单元体左右两侧面是横截面，其上有切应力 ，且数值相等，但方向相反。为保持单元
14、体的平衡，上下面上也必然存在大小相等，但方向相反的切应力 。根据平衡条件不难证明：,(b), = ,目录,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,上式表明，在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向则共同指向或背离该两面的交线。这就是切应力互等定理。,图示单元体的两对表面上只有切应力，没有正应力，另一对表面上没有任何应力，这种应力情况称为纯剪切状态。,目录,第六章 杆件的应力与强度圆周扭转时的应力与强度,应用切应力互等定理，可得到圆轴扭转时与横截面垂直的径向截面上的切应力分布情况(如图)。圆木杆在扭转时沿纵向截面破坏，其原因是木材的顺纹抗剪
15、能力比横纹抗剪能力差。,目录,63 梁弯曲时的应力与强度,第六章 杆件的应力与强度梁弯曲时的应力与强度,63l 梁弯曲时横截面上的正应力,在一般情况下，梁的横截面上作用有剪力与弯矩。剪力与弯矩是横截面上分布内力的合成结果，在横截面上只有切向微内力 dA才能合成为剪力FS；只有法向微内力dA才能合成为弯矩M(如图)。因此，梁横截面上一般存在着切应力和正应力 ，它们分别与剪力FS和弯矩M有关。,目录,第六章 杆件的应力与强度梁弯曲时的应力与强度,对于细长梁，正应力往往是决定其是否发生强度失效的主要因素，因此，本节将重点讨论平面弯曲时梁横截面上的正应力及其强度计算，对弯曲切应力及其强度计算仅作简单介绍。,若梁在弯曲时，横截面上只有弯矩而无剪力，这种情况称为纯弯曲。下面先研究纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式。,取一具有纵向对称面的梁，例如矩形截面梁，在其侧面画两条相邻的横向线mm和nn(代表两个横截面)，再在两横向线间靠近梁顶面和底面处画两条纵向线aa和bb(代表两条纵向纤维)，如图所示。,目录,第六章 杆件的应力与强度梁弯曲时的应力与强度,在梁的两端施加外力偶Me，使梁发生纯弯曲。此时可观察到下列现象：,mm和nn仍为直线，只是相对旋转了一个角度； aa和bb变为弧线，且aa缩短，bb伸长； mm和nn分别与aa和bb仍保持正交(图b)。,
