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1、,常微分方程,第 9 章,主讲教师：,第 9 章 常微分方程,9.2 一阶微分方程,可分离变量型方程,1,2,一阶线性微分方程,3,伯努利方程,4,齐次微分方程,一阶微分方程的一般形式为,本节仅讨论几种特殊类型的一阶微分方程的求解问题。,另一形式,一阶微分方程的初值问题可表示为,转化,解分离变量方程,形如,的方程称为可分离变量方程。,求解思路：,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,则有,称为方程的通解, 或通积分.,将原方程分离变量，得,两端积分，得,原方程的通解为,【注】 1) 方程的解可以是以隐式形式给出。,2) 积分后要加常数C，可写成特殊形式，
2、如lnC等。,解,原方程变形为,两端积分得通解为,原方程的特解为,代入初始条件,得,解,一曲线经过点,它在两坐标轴之间的任一切线段,均被切点所平分，求此曲线的方程。,轴的,设切线与,设所求曲线的方程为,则曲线上点,处的切线方程为,交点为A，,轴的,与,交点为B，,则A的坐标为,，B的坐标为,因为,是线段,的中点，,所以,，分离变量得,两端积分得,所以通解为,解,将初始条件,代入，,得,所以曲线方程为,形如,的方程叫做齐次方程 .,但是,如何求解齐次方程呢？,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,解微分方程,则有,分离变量,积分得,代回原
3、变量得通解,显然 y = 0 ,也是原方程的解, 但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,解,原方程化为,即,积分，得,回代得方程的通解,求微分方程,的通解,令,解,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为一阶非齐次线性微分方程 .,称为一阶齐次线性微分方程 ;,1. 齐次方程 的通解,分离变量,两边积分得,故通解为,2. 非齐次方程,非齐次方程和齐次方程有着密切的对应关系，通过 常数变易法来揭示这种联系。,第二步，,常数变易法的步骤：,第一步，,先求齐次方程的通解,将,中的C改为,表示非齐次方程的解,的通解,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,用常数变易法:,则,
4、故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,结论：非齐次通解等于齐次通解加上非齐次特解。,（常数变易法）,表示非齐次通解，,表示齐次通解，,表示非齐次特解。,求微分方程,的通解,先求齐次方程,通解为,令,解,通解为：,（公式法）,解得,原方程变形为,由公式法,解,直接利用公式得原方程的通解：,通解为,求微分方程,的通解,代入初始条件,得,解,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,方法:,(线性方程),则,通解为,。,解,故原方程的解为,代入原方程得,令,则,求微分方程,的通解。,解,可分离变量型方程的解法；,齐次微分方程的解法；,一阶线性微分方程的解法；,伯努利方程的解法；,齐次和非齐次线性微分方程,1求下列微分方程的通解,（1）,（2）,（3）,（4）,2求下列微分方程所给初始条件的特解,（1）,（2）,（3）,（4）,3求下列齐次方程的通解,（1）,（2）,（3）,（4）,4求下列齐次方程满足所给初始条件的特解：,（1）,（2）,5求下列线性微分方程的通解,（1）,（2）,（3）,（4）,6求下列微分方程满足初始条件的通解：,（1）,（2）,（3）,7求一曲线方程，这条曲线经过原点，并且它在点,处的切线斜率等于,8求下列贝努利方程的通解：,（1）,（2）,
