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1、拉格朗日插值法分析报告1、拉格朗日插值法介绍1、插值概念简介已知 在区间 上 个不同点 处的函数值)(xf,ba1nnx,10，求一个至多 次的多项式)1,0iyi nxaax10)(使其在给定点处与 同值，既满足插值条件f ),()(niyxfiiin 称为插值多项式， 称为插值节点， 称为插值区间。)(xn,10niba从几何上看， 次的多项式插值就是过 个点 ，作),10(),(nixfi 一条多项式曲线 近似曲线 。)(xyn)xfy)(xn)(fyx图 1 多项式曲线以及近似曲线2、拉格朗日插值法原理在求满足插值条件 次插值多项式 之前，先考虑一个简单的插值问n)(xPn题：对节点
2、中任一点 ，作一 n 次多项式 ，),10(ix0k)(xlk使它在该点上取值为 1，而在其余点 上取值为零，),1,(ix即kixlik0)(上式表明 个点 都是 次多项式 的零点，故可nnkx,110 )(xlk设 )()()()( 1110 nkkkk xxxAxl 其中， 为待定系数。由条件 立即可得kl )()()( 110 nkkkk xxx故 )()()() 110 nkkkkkxl 由上式可以写出 个 次插值多项式 。我们称它们为n (,10xllx在 个节点 上的 次基本插值多项式或 次插值基函数。1nx,10利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的 次插值多项式n)()()
3、(10 xlylyl n根据条件 ，容易验证上面多项式在节点 处的值为kixlik ix，因此，它就是待求的 次插值多项式 。),10(niyn)(Pn形如 的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，)()(1xlyxlyl记为 ，即)xLn )()()( 11021 nkkkk nxxxlylyl 作为常用的特例，令 ，由上式即得两点插值公式 n，这是一个线性函数，故又名线性插值。)()(0101 xxyL若令 ，则又可得到常用的三点插值公式 )()()()( 1202210120102 xxyxyxxy 这是一个二次函数，故又名二次插值或抛物线插值。2、算法设计1、算法描述（1）输入已知点的个数
4、；（2）分别输入已知点 X 的坐标；（3）分别输入已知点 Y 的坐标；（4）调用拉格朗日插值函数，求得某点对应的函数值。2、算法流程图=开始分别输入已知点 X 的坐标和已知点 Y 的坐标0.iy0.1lnkjlxljij,1,0* yly*?ni1i 3、程序源代码#include#includefloat lagrange(float *x,float *y,float xx,int k)int i,j;float l,yy=0.0;for(i=0;i=k-1;i+)l=1.0;for(j=0;j=k-1;j+)if(j!=i)l=l*(xx-xj)/(xi-xj);yy=yy+yi*l;r
5、eturn yy;int main()int i,n,k;float x50,y50,xx,yy;printf(插值次数 k:);scanf(%d,&k);printf(输入差值点个数 n:);scanf(%d,&n);for(i=0;i=n-1;i+)printf(x%d:,i);scanf(%f,&xi);printf(n);for(i=0;i=n-1;i+)printf(y%d:,i);scanf(%f,&yi);printf(n);printf(Input xx:);scanf(%f,&xx);yy=lagrange(x,y,xx,n);yprintf(x=%f,y=%fn,xx,yy);
