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1、高等数学(经济类) (第二版),与机械工业出版社版配套,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一章,预备知识,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一章,1.1 实数,1.2常用数集,1.3 函数,1.4 函数的几种特性,1.5 反函数,1.6 基本初等函数,1.7 初等函数,18 极坐标,1.9 简单的经济活动中的函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.1 实数,1实数分为有理数和无理数两类。有理数是能被表示成 两个整数之比（分母不为零）的数， 即整数、有限小数、 无限循环小数，统称为有理数。称无限不循环小数为 无理数。,2实数的基本性质 （1）有
2、序性 任意两个实数，必满足下述关系式之一： （2）稠密性 任意两个不相等的实数之间有实数。,建立数轴后，实数集与数轴上的点一一对应。,（3）实数集合对于加、减、乘、除（除数不为零）运算 封闭，即运算结果仍是实数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3实数的绝对值,实数绝对值有下列性质：,（1）,（2）,（3）,（4）,（三角不等式）,（5）,（6）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.2常用数集,(1) 全体实数的集合，记为R,（2） 全体自然数的集合,记为,整数集合,或,有理数集,p 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,闭区间,(3),(4),(5),(6),机动 目
3、录 上页 下页 返回 结束,半开区间,无限区间,点的 邻域,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,去心 邻域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然，,1.3 函数,1.3.1 常量与变量 定义1-1 在观察某事物的过程中,若某个量的取值始终 不变,则称该量为常量；而可取不同的值的量称为变量。,1.3.2 函数概念,应法则总有唯一确定的,数值与之对应,则称,是 的函数,记作,有时简记为,或 ，称 是自变量, 是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称 是函数的定义域。,当变量 取值 时,称 在点 有定义，,并记为 或,集合,被称为函数的值域。,1.4 函数的几种特性,(1)
4、单调性,当,时,称,为 I 上的,单调增函数 ;,称,单调减函数 .,为 I 上的,设函数,且有区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 有界性,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,
5、称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,周期为 ,1.5 反函数,定义1-7 设 的定义域为 ，值域为,如果对于每个 ，都有唯一的对应值,，满足,，则依此对应法则定义了一个以 为定义域，,为自变量，,为因变量的函数，称为函数 的反函数，,记为,习惯上,的反函数记成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,
6、对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,1.6 基本初等函数,基本初等函数是最常见、最基本的一类函数。,基本初等函数包括：常数函数、幂函数、指数函数、,对数函数、三角函数和反三角函数。,1.常数函数 （ 为常数）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.幂函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.指数函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.对数函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.三角函数,正弦函数,余弦函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,正切函数,余切函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,正割函数,余割函数,机动 目录 上页 下页 返回
7、 结束,6.反三角函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17 初等函数1.7.1 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,函数,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合,定义1-8,的值域包含于 的定义域中,内层函数的值域在外 层函数的定义域中,例,设 ，则这两个函数可以复合。复合函数,为 。 这里，内层函数的值域在外层函数的定义域中。,设 ， 则这两个函数不能复合。,因为函数 的值域 不包含在 的定义域内。,若,机动 目录
8、上页 下页 返回 结束,一般而言,，如果 的值域不包含在,的定义域内，,但与 的定义域交集非空，函数,与 复合时，总是对 的取值加以限制，,使 的值域包含在 的定义域内。,当函数 与 复合成 时，如果没有 特别说明，该复合函数的定义域是指,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17 .2初等函数,定义1-9,由基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意 分段函数虽然用多个式子表示，但是不能就说,分段函数一定不是初等函数。,初等函数是微积分的
9、主要研究对象。由于分段函数在其定义域,的各个子区间上都由初等函数表示，,所以我们仍可通过初等函数来研究它们。,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,非初等函数举例:,取整函数,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,18 极坐标,在平面上任取一定点 ，称为极点。自 引一条射线 ，称为极轴。再选定一个单位,长度和角度正方向,（通常取逆时针方向）。这样就建立了极坐标系。,对于平面上任意一点 ，用 表示线段 的长度，,用 表示以 为始边以 为,终边的角度（用弧度制表示），,称为极径， 称为极角
10、， 有序数组,称为点 的极坐标。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极坐标系与直角坐标系是两种不同的坐标系。,现在建立它们之间的关系。把极点作为直角坐标系 的原点，极轴作为 轴。于是有,或,(1),(2),用（1）、（2）可以将两种坐标相互转化。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.9简单的经济活动中的函数,1.9.1总成本函数 总收入函数 总利润函数,人们在生产经营活动中总希望以较低的成本（记为C),获得较高的收入（记为R）和利润（记为L）。这些经济 变量经济变量都与产品的产量或销售量（ ）有关。经过 合理的简化与抽象，它们都可看成产量 函数，,分别称为总成本函数、总收入函数、总利润函
11、数。 分别记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)总成本函数,在短时间内不发生变化或变化很小或不明显地随产品 （商品）的产量（销量）变化而变化的，如厂房、设 等，称为固定成本，常用 表示。,随产量（销量）变化而变化的部分，称为可变成本， 如原材料、能源等，它随产量增加而增加。总成本是固 定成本与可变成本之和。因此它是产量(销量)的单调增 函数。最简单的总成本函数是线性函数：,其中 为正的常数。,为固定成本。固定成本通常记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（2）总收入函数,将产品销售出去就得到收入。设价格为 ，销量为 ， 则总收入为,（3）总利润函数 利润是指收入减去成本后剩余的部
12、分，即,总成本等于总收入的状态称为保本,此时的产量（销量）称为保本点或无盈亏点；当总收入大于总成本时称为盈利，当总收入小于总成本时称为亏本。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.9.2 需求函数与供给函数,市场需求量与多种因素有关,如果为简化问题,不考虑除 价格以外的其他因素的影响或把其他因素看作相对稳定， 那么需求量可看成是价格 的一元函数，称为需求函数， 记为,通常需求函数是价格的单调减少函数。最简单、最常见的需求函数是线性需求函数,其中， 是价格为零时的最大需求量， 为最大销售价格（此时需求量为零）。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,供给函数,一个市场上的商品供给量 与多种因素有关。与前面 类似，为简化问题，在一定条件下供给量也可看成是价格 的一元函数，称为 。记为,供给函数是价格的单调增函数。最简单的供给函数为 线性供给函数,使一种商品的市场需求量与供给量相等的价格（记为 ） 称为均衡价格。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
