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1、,2 古典概型与概率（第二讲）,等可能概型（古典概型）,退 出,前一页,后一页,目 录,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。,一、 概率的古典定义,我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。,退 出,前一页,后一页,目 录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,设 S =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件两两互不相容；所以,退 出,前一页,后一页,目 录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A =e1
2、, e2, ek , 则有 ：,退 出,前一页,后一页,目 录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,1）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法。,3） 排列： (1)有重复排列:在有放回选取中，从n个不同元素中取 r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。,二、排列组合公式,2）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有nm种方法。,退 出,前一页,后一页,目 录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,4）组合： （1）从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合
3、，其总数为,（2）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为,说明 ：如果把 n 个不同元素分成两组，一组r个，另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有 种。,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论基础知识,2 古典概型与概率,（2）多组组合：把n个不同元素分成k组 , 使第 组有 个元素， ，若组内元素不考 虑顺序，那么不同分法有 种。,（3）常用组合公式：,说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论基础知识,2 古典概型与概率,例 1 把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问
4、： 恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？,解：,将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一 个基本事件，共有放法4！种。,把书恰好排成序有两种放法。 所以，所求概率为,退 出,前一页,后一页,目 录,三、古典概型的例子,第一章 概率论基础知识,2 古典概型与概率,例 2 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去， 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有,而每个盒子中至多放一只球, 共有,思考：某指定的n 个盒子中各有一球的概率。,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论基础知识,2 古典概型与概率,此例可以作为
5、许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出： “在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为 99.7%。,n p,20 23 30 40 50 64 100,0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997,经计算可得下述结果：,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论基础知识,2 古典概型与概率,例3 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率： A = 5 颗骰子不同点 ； B = 5 颗骰子恰有 2 颗同点 ； C = 5 颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗 同是另一个点数,解：,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论基础知识
6、,2 古典概型与概率,退 出,前一页,后一页,目 录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,例4 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中任 取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?,又 在 M 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-M 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有,解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有,退 出,前一页,后一页,目 录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,退 出,前一页,后一页,目
7、录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,2） 有放回抽样,而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,于是所求的概率为,从 N 件产品中有放回地抽取n 件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为 。,此式即为二项分布的概率公式。,退 出,前一页,后一页,目 录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,例 5 某厂家称一批数量为1000件的产品的次品率 为5%。现从该批产品中有放回地抽取了30件，经 检验发现有次品5件，问该厂家是否谎报了次品率？,解：,假设这批产品的次品率为5%，那么1000件产品 中有次品为50件。这时有放回地抽取30件
8、，次品有3 件的概率为,退 出,前一页,后一页,目 录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件 在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推 断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟 然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。,退 出,前一页,后一页,目 录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,例 6 将 n个男生和m个女生(mn) 随机地排成一列,问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？,解：,任意两个女生都不相邻时，,首先n个男生的排法有n!种，,每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有队列两侧各有一个位置可以站女生，这样m个女生共有n
9、+1个位置可以站，,所以，任意两个女生都不相邻这一事件的概率为,n+m个学生随机地排成一列共有排法(n+m)!种,总共排法有 种。,退 出,前一页,后一页,目 录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,思考题：如果这n+m个学生不是排成一列，而是排成一个圆状，首尾相接，这时，任意两个女生都不相邻的概率是多少？,退 出,前一页,后一页,目 录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,例 7 袋中有 a只白球，b 只黑球从中将球取出 依次排成一列，问第 k 次取出的球是黑球的 概率,解： 设 A=“第 k 次取出的球是黑球”,退 出,前一页,后一页,目 录,2 古典概型与概率,第一章 概率论基础知识,第二讲结束，谢谢！,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,2 古典概型与概率,作业(2):2,3,4,5 1.P20,N4 2. P20,N5 3. P20,N6 4. P20,N7,
