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1、一、关于数学的整体性,整体是事物的一种真实存在形式。 数学是一个整体。 数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上纵向联系、横向联系。 学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种矛盾，是教学中的核心问题。,例1 从数及其运算看数学的整体性,在数系的发展过程中，正整数与人的直觉一致，天经地义。然而，0、负整数、分数、无理数、复数取得“合法”地位，都经历了漫长、曲折而相似的过程。让学生返璞归真地择要经历这个过程，对他们理解数学的整体性、感受数学研究的“味道”很有好处，自然地，这也是培养学生的数学素
2、养，提高他们发现和提出问题、分析和解决问题的能力的极好途径。,数系扩充中的基本思想,数学推广过程的一个重要特性是：使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。 数系的扩充：引入一种新的数，就要定义其运算；定义一种运算，就要研究其运算律。 扩充的基本原则是：使算术运算的运算律保持不变。 运算是代数中的核心问题。,数系扩充的整体结构,背景引入（现实、数学内部）、定义和表示（抽象的过程）分类、性质、运算（推理活动）联系及其应用（建模活动）。 研究一个数学新对象的基本套路。,数列课程内容的设计思路,学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一
3、些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。,内容和要求,（1）数列的概念和简单表示法 通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。 （2）等差数列、等比数列 通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。 探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式。 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。 体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。,对内容的理解,数列的概念和表示注意从函数的研究中得到启发； 等差数列：概念、表示（通项公式）、性质（等差中项），等
4、差数列的“原型”就是自然数列n； 等差数列的前n项和公式：从概念和性质中推出的自然结果； 应用作为知识的联结点。,等差数列的概念和通项公式,如何教概念？ 问题 观察下列数列，你有什么发现？ （1）0，5，10，15，； （2）5.5，7.5，9.5，11.5，； （3）0，2.5，5.0，7.5， 追问：是相邻两项的差吗？从第二项起 这个问题能引出等差数列的概念吗？,问题不恰当： （1）对概念理解不到位“等差”是由运算引发的！等差数列是一类特殊的数列，“考察特例”是一种“基本套路”； （2）对教材不理解教材是这样开头的：初中学了实数及其运算、性质。现在我们面对一列数（数列），能不能也像研究实数
5、一样，研究它的项与项的关系、运算和性质呢？我们先从一些特殊的数列入手； （3）对学生不理解这些数列的共同特征不只是“等差”，没有从关系、运算等作必要引导，学生的观察没有方向。,如何教通项公式？,什么叫“通项公式”？ 研究一个数学对象的“基本套路”是：获得对象（下定义）表示对象研究性质建立与相关知识的联系。 “通项公式”等差数列的一种表示，就像函数的解析式一样，要回答的是“第n项an与序号n的关系”。 “求通项公式”从定义出发。,等差数列的性质,运算中出现的规律性有了运算，数的力量无限。 最简单的等差数列：三项“等差中项”； 如何看“等差中项”？平均数！ 当m+n=p +q时，am+ an= a
6、p +aq ； ,前n项和公式的教学设计,作为自然数列性质的自然延伸、一般化将a1=1，d=1一般化。 如何看1+2+3+n= ？ 有多种角度：“平均数”，不同数求和化归为相同数求和，等； “平均数”本质上是等差数列的性质：am+ an= ap +aq ，当m+n=p +q时这是“倒序求和”技巧的源头。,教学设计思路,总体思想：希望学生领悟到“倒序求和”技巧的来源。 问题1高斯是如何求出1+2+100的？ 问题2如果从数列的角度看，你认为他利用了数列1，2，3，的什么特性？ 问题3你能用高斯的方法求1+2+101吗？ 问题4如何用高斯的方法求1+2+n？ 问题5一般地，设公差为d的等差数列an
7、，你能求出Sn=a1 +a2 +an吗？（什么叫求Sn？）,回到概念去，回到基本性质去返璞归真，至精至简，以简驭繁，大巧若拙。 “倒序求和”是雕虫小技！,二、关于系统思维的培养,数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维。系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。,例 “三角形”研究中的系统思维,定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形进行分类；明确研究对
8、象 基本性质，即研究要素之间的关系，得到 “三角形内角和等于180” 等； 研究“相关要素及其关系”，如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”等；,三角形的全等（反映空间的对称性，“相等”是重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件”）； 特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）； 三角形的变换（如相似三角形等）； 直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形； 解三角形（正弦定理、余弦定理）。,把三角形作为一个系统进行研究,明确研究对象（定义、表示、分类） 性质（要素、相关要素的相互关系）特例（性质和判定）联系； 定性研究（相等、不等、对称性等）定量研究（面积、勾股定理、相
9、似、解三角形等）。,培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使他们在面对数学问题时，能把解决问题的目标、实现目标的过程、解决过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。,什么叫性质？,性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系。 问题：这里的“事物内部”指什么？“稳定的联系”是怎么表现的？到底怎样才能发现这种“联系”？,从三角形的“内角和为180”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”、“等边对等角”等你想到了什么？ “内部”可以是“三角形的组成要素”，“稳定的联系”是指“三
10、角形要素之间确定的关系”。 几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。,从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又想到了什么？ 把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”也可以看成是“三角形的内部”。 要素、相关要素间确定的关系也是性质。,两个几何事物所形成的某种位置关系所体现的性质，例如两条直线平行，从“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的“性质”是借助“第三条直线”构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。 研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种
11、位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手。,圆的几何性质,要素：圆心、半径、直径、弧、圆心角； 相关要素：弦、圆周角 你认为可以怎样引导学生发现和提出值得研究的命题？,同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何一条弦； 垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也成立。 切线垂直于过切点的半径。 过圆外一点所作圆的两条切线长相等。 你能发现一些与圆心角相关的定理吗？,如何引导学生观察几何体的结构特征,棱柱 要素、相关要素：面、棱、顶点、面对角线、体对角线、高
12、要素、相关要素之间的关系：面与面、棱与棱、面与棱 特例：长方体正方体，平行六面体 ,直线与平面平行的性质,位置关系：直线l 平面； 其他事物：直线、平面； 命题： （1）如果 al，那么a ； （2）如果 a ，那么a l； （3）如果a l，那么a； （4）如果a，那么a l；,（5）如果l，那么； （6）如果，那么l； （7）如果l，那么 ； （8）如果 ，那么 l。,（9）与“公理”相联系，直线l与平面 内任意一点A确定一个平面 ， =m ，那么 ml； （10）l ，所以l =。如果m在 内，则或者ml，或者m与l是异面直线。 （11）直线m与直线l异面，则过直线m有且只有一个平面与直
13、线l平行。 （12）l ， =l， =l1， =l2，那么l1l2。,从培养系统思维的要求出发设计教学,以数学知识的发生发展过程为载体，按学生的认知规律设计教学，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。数学化的过程,关于正弦定理、余弦定理的教学,教学设计中，加强思想方法、解决问题的策略等方面的思考： 如何发现问题； 从定性到定量地研究问题； 将新问题化归为旧问题； 从知识的相互联系性思考问题；等等。,如何研究一个数学对象（问题）,数学中，往往是在定性研究问题后，希望得到定量的结果。一个三角形有六个要素，由全等三角形的“基本事实”
14、SSS，SAS，ASA，你能提出什么新的问题？ 六个要素中，只要知道三个（其中至少有一个是边），三角形就唯一确定。也就是说，其余三个要素可以由这三个要素唯一确定。从定量角度，由这三个要素可以求出其余三个要素。,对于“解三角形”，你会哪些知识？会解直角三角形，对于一般三角形，只有“内角和定理”。 给定两边一夹角，求其他边、角化归为直角三角形。 还有没有其他方法？从知识的联系性出发，与解三角形相关的知识还有哪些？怎么用？,你还能提出哪些问题？ 对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一确定的，因此外接圆的半径可以用三角形的边、角来表示。怎样用三角形的边、角来表示它的外接圆半径？ 对于一个确定的三角形，它
15、的高、中线、角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样用三角形的边、角来表示它们的度量？,一个三角形包含的各种几何量，如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等，这是三角形这个整体中的各种要素。对它们之间存在的各种函数关系的研究中，可以体现出系统思维的力量，在培养学生的系统思维、掌握“认识、解决问题的方法”、提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力等方面都能发挥很好的作用。,二元一次不等式表示平面区域,如何提出问题？如何获得猜想？ 从具体到抽象、从特殊到一般强调归纳的过程。 直角坐标系中，方程xy6=0的解为坐标的点在直线l上；同时，直线l上的点的坐标都是方程xy6=0的解由此你能提出什么新问题？,(x0 ,y0)不在直线l上，则x0y060 x0y060或x0y060。 坐标平面被直线xy6=0分成三个部分，它们与xy60， xy6=0 ，xy60有什么关系呢？ 任意取点，代入，找规律发现“同侧同号”。,如何证明“同侧同号”,点P0 (x0 ,y0 )在直线Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”如何用数量关系表达？ y P(x0 ,y0 ) O x,获得证明思路的关键,对解析几何的基本思想（坐标法）的理解深度； 对“先用平面几何眼光观察，再用代数方法解决”的认识；
