自动控制理论第三章(1)解析

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1、第3章 线性系统的时域分析法,典型响应的性能指标 一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析 控制系统的稳定性和代数判据 稳态误差的分析和计算,王承国 ,本章主要内容,本章介绍了控制系统时域性能分析法的相关概念和原理。包括各种典型输入信号的特征、控制系统常用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响应、脉冲响应函数及其应用、控制系统稳定性及稳定判据、系统稳态误差等。,本章重点,通过本章学习，应重点掌握典型输入信号的定义与特征、控制系统暂态和稳态性能指标的定义及计算方法、一阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系统稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的稳态误差概念和误差系数的求取等内容。,自动控制原理课程

2、的任务与体系结构,在建立了控制系统的数学模型后，就可以对系统的性能进行分析。对控制系统性能的分析，主要是从稳定性、稳态性能和动态性能三个方面着手，即通常所说的“稳、准、快”。在经典控制理论中，常用的分析方法有三种，即时域分析法、根轨迹法和频域分析法。 所谓时域分析法，是根据描述系统的微分方程或传递函数，直接解出控制系统的时间响应，然后依据响应的表达式或描述曲线来分析系统的性能。（定量分析方法）,3.1 时域分析法概述 3.1.1 时域法的作用和特点 时域法是最基本的分析方法,学习复域法、频域法的基础 (1) 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确； (2) 可以提供系统时间响应的全部信息

3、； (3) 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。,一、典型输入函数,所谓典型输入信号，是指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。 典型输入信号的选取既应大致反映系统的实际工作情况，又应力求简单以便于分析，此外，还必须选取使系统处于最不利情况下的输入信号。,为什么要研究典型输入信号？ 控制系统的输入信号是随机和无法事先确定的。 为了测试比较控制系统的性能，需要有一个共同的基础。 可以采用很接近实际控制系统经常遇到的输入信号，并在数学描述上加以理想化后能用较为典型且简单的函数形式表达出来的信号。 常用的典型输入信号有五种。,1.阶跃函数 式中A为常量。 单位阶跃函

4、数及其拉氏变换,2.斜坡函数 式中A为常量。 因为 ，所以又称等（匀）速度函数。 单位斜坡函数及其拉氏变换,3. 抛物线函数 式中A为常量。 因为 ，所以又称等（匀）加速度函数。 单位抛物线函数及其拉氏变换,4. 脉冲函数 式中A为常量。当A=1且 ，则称为单位脉冲函 数 。 及其拉氏变换为 且,5. 正弦函数 式中A为振幅，为角频率。 其拉氏变换为 用于频域分析，见第五章。,3.1.2 时域法常用的典型输入信号,注意： 线性系统的性能只由系统本身的结构及参量决定。采用典型输入信号的目的，是为了在一个统一的标准下，比较分析各种不同控制系统的性能！ 如何确定选取哪种典型信号作为试验信号？ 不论选

5、择何种典型输入信号，对同一系统而言，其响应过程所表征的系统特性是一致的。 最常用的典型输入是阶跃信号。,研究目的 时域分析就是分析系统的时间响应，也即分析描述其运动的微分方程的解。 研究系统的运动就是分析系统的性能。 研究对象,二、线性定常系统的时间响应,3. 线性微分方程的解的组成 式中， 对应齐次微分方程的通解 为任一特解 即 线性常微分方程的解 =齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的任一特解 零输入响应零状态响应 =自然响应受迫响应,4. 线性系统响应的分解 分析电网络时： 网络的响应 =动态响应（暂态分量）+稳态响应（稳态分量）,这两种分解有没有联系呢？,5. 拉氏反变换求解微分方程（

6、零初始条件） 用部分分式展开 式中， 传递函数的极点 输入象函数 的极点,如果 和 都是互异极点，则系统的零状态响应（初始条件为零的响应）为 式中， 、 为待定常量，其值与系统的结构、参量及输入有关。 如果 ，系统的输出即为单位阶跃响应,在典型输入信号的作用下，任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。 动态过程：系统在输入信号作用下，系统输出量从开始状态到最终状态的响应过程。 稳态过程：时间趋近于无穷大时，系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供有关稳态误差的信息。,三、动态过程和稳态过程,控制系统在典型输入信号作用下的性能指标，通常由动态性能和稳

7、态性能两部分组成。 值得注意的是，只有对稳定控制系统进行时域分析才有意义！,四、动态性能和稳态性能,1. 动态性能：一般由单位阶跃响应表征系统动态性能,稳：( 基本要求 ) 系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置 准: ( 稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小 快: ( 动态要求 ) 过渡过程要平稳，迅速 延迟时间 t d 阶跃响应第一次达到终值的50所需的时间 上升时间 t r 阶跃响应从终值的10上升到终值的90所需的时间 有振荡时，可定义为从 0 到第一次达到终值所需的时间 峰值时间 t p 阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间 调节时间 t s 阶跃响应到达并保持在

8、终值 5误差带内所需的最短时间 超 调 量 峰值超出终值的百分比,B,A,B,上升时间tr,调节时间 ts,（1）最大超调量： （2）峰值时间： （3）上升时间： （4）调整时间： （5）延迟时间： （6）振荡次数：N,常用的动态性能指标,通常上升时间和峰值时间评价系统的响应速度；超调量评价系统的阻尼程度，表征控制系统的震荡程度；调节时间是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。,2. 稳态性能 稳态性能指标主要是稳态误差。 稳态误差：对稳定的系统，当给定参考输入或外来扰动加入系统后，经过足够长的时间，其暂态响应已经衰减到微不足道的情况下，系统稳态响应的实际值与期望值之间的误差。 稳态误差是系

9、统控制精度和抗扰动能力的一种度量。,3.2 一阶系统的时域分析,一阶系统的数学模型,RC电路、恒温箱、液位调节系统、室温调节系统是常见的一阶系统,1. 一阶系统的单位阶跃响应 对于单位阶跃输入 于是 由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位阶跃响应为,讨论： 1是稳态分量，由输入信号决定。 是瞬态分量（暂态分量），它的变化规律由传递函数的极点-1/T或时间常数T决定。 当 时，瞬态分量按指数衰减到零。 注意到，,一阶系统单位阶跃响应的典型数值 所以，一阶系统的单位阶跃响应是一条指数上升、渐近趋于稳态值的曲线。,讨论： 图中对应的A点是实验方法求取一阶系统时间常数T的重要特征点。 c(3T)=0.95

10、和c(4T)=0.982表明系统时间响应进入稳态值的5和2允许误差带的过渡过程时间分别为 时间常数T越小（惯性小），系统响应速度越快。 响应曲线在t=0处斜率最大，其值为1/T（也可由此求T）。,没有超调p=0，不存在峰值时间。 调整时间为,2. 一阶系统的单位脉冲响应 对于单位脉冲输入 于是 由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位脉冲响应为,讨论： 一阶系统单位脉冲响应的调节时间为 或 单位脉冲响应中只包含瞬态分量。 单位脉冲响应也可以通过对单位阶跃响应求导获得。单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分。 系统的单位脉冲响应对应系统传递函数的拉普拉斯反变换，这一结论对于所有系统都是成立的。,3. 一阶系

11、统的单位斜坡响应 对于单位斜坡输入 于是 由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位斜坡响应为,讨论： 稳态分量(t-T) 是一个与输入信号等斜率的斜坡函数，但时间上滞后一个时间常数T。 暂态分量 ，当 时，它按指数规律衰减到零，衰减速度由极点s=-1/T决定。 单位斜坡响应也可由单位阶跃响应积分得到（其中初始条件为零）。,系统的误差信号为 一阶系统的单位斜坡响应在过渡过程结束后存在常值误差，其值等于时间常数T。 时间常数越小（惯性小），响应越快，跟踪误差越小（精度高），输出信号的滞后时间也越短。 或,4. 一阶系统的单位加速度响应 对于单位加速度输入 于是 由拉氏反变换可得到一阶系统的单位加速度响应

12、,系统的误差信号为 一阶系统在加速度信号作用下的误差随时间增长，直到无穷。,一阶系统对典型输入信号的响应,3.3 二阶系统的时域分析,一、二阶系统数学模型及其标准形式,RLC电路、电动机转速控制系统,典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分环节串联的单位负反馈系统。 令 则二阶系统传递函数的标准形式为 其中称为阻尼比，为时间常数，n为系统的自然振荡角频率（无阻尼自振角频率）。,注意： 控制工程中，二阶系统的典型应用极为普遍； 为数众多的高阶系统在一定条件下可近似为二阶系统。,二、二阶系统的特征根（极点）分布 求解二阶系统特征方程， D(s)= 可得,d,-,(1) 欠阻尼 是一对共轭复数根。

13、 (2) 临界阻尼 是两个相同的负实根。 (3) 过阻尼 是两个不同的负实根。 (4) 无阻尼 是一对共轭纯虚数根。,三、二阶系统的单位阶跃响应 对于单位阶跃输入 于是 由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为 下面按阻尼比分别讨论。,过阻尼(1) 这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则,拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：,稳态分量：1 暂态分量：两个指数函数之和，指数部分由系统传递函数极点确定。,讨论： 过阻尼系统是两个惯性环节的串联。 有关分析表明，当 时，两极点s1和s2与虚轴的 距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该惯性环节

14、来近似原来的二阶系统。即有,近似原则：用其中一个惯性环节近似原二阶系统，需要保证近似前后初值和终值相等，并且要用到待定系数法！,过阻尼系统稳态值和最终误差 过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）,过阻尼系统单位阶跃响应的变化率,所以，整个暂态过程中，阶跃响应都是单调增长的.,2. 临界阻尼(1) 此时，系统具有二重负实极点，则,单位阶跃响应为,表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。,单位阶跃响应的变化率为：,临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值,解得 。 整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调增长的没有超调。如以达到稳态值的95%所经历的时间做为调整时间，则 临界阻尼二阶系统多在记录仪表

15、中使用。,单位阶跃响应变化率最大的时刻：,3. 欠阻尼(01) 此时，系统具有一对共轭复数极点，则,欠阻尼系统单位阶跃响应为 或写为,讨论: (1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值 n的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有阻尼自振角频率d ， (2)振荡周期为 (3)越大,振幅衰减越快，振荡周期越长(频率越低)。,(4)上升时间tr的计算：,(注：为弧度),(5)峰值时间tp的计算： 出现峰值时，阶跃响应随时间的变化率为0，即 则 到达第一个峰值时应有,(6)最大超调量的计算： 越小， 越大（只与有关）,(7)调整时间ts的计算：

16、 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线 以内，这对曲线称为响应曲线 的包络线。,可以采用包络线代替实际响应曲线估算调整时间，所得结果一般略偏大。,解得 当 时， 设计二阶系统时，常取 为最佳阻尼比。,若允许误差带是（如2），可以认为调整时间就是包络线衰减到 区域所需的时间，则有,设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，再由其他指标（如调节时间）和已确定的阻尼比给出自然振荡角频率。,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式,4.无阻尼（0） 无阻尼情况下系统的阶跃响应是等幅正（余）弦振荡曲线，振荡角频率是,不同下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图,几点结论:,1）二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：, 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定（负阻