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1、 整式乘除知识要点要点 1 同底数幂的乘法：amana mn （m，n 都是正整数） 可扩展为 amanapa mnp 说明：幂的底数相同时，才可运用此法则。要点 2 幂的乘方与积的乘方(1) 幂的乘方：(a m)na mn （m，n 都是正整数） ，可推广为 mnpn(2) 积的乘方：(ab) na nbn （n 为正整数） ，可扩展为(abc )na nbncn 要点 3 同底数幂的除法amana mn （a0，m，n 都是正整数，并且 mn）要点 4 零指数与负整数指数的意义（两个规定）：(1) 零指数： a01 （a0）(2) 负整数指数： （a0，p 是正整数） 即任何一个不等于 0
2、 的数的p( p 为正p整数)次幂等与这个数的 p 次幂的倒数。也可变形为 : （观察前后幂的paa1底数、指数变化）说明：(1)在幂的性质运算中，幂的底数字母 a、b 可以是单项式或多项式， 运算法则皆可逆向应用；(2) 零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为 0，即 a0；(3) 规定了零指数和负整数指数的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂；(4) 在运算当中，要找准底数（即要符合同底数） ，如果出现底数互为相反数，或其他不同，则应根据有关理论进行变形，变形要注意指数的奇偶性。在计算过程中，时刻注意符号的变化。乘法公式(1) 平方差公式： (ab)(ab)a 2b 2.
3、 (2) 完全平方公式：两数和的平方：(ab) 2a 22abb 2 ; 两数差的平方：(ab) 2a 22abb 2.说明：因为 a22abb 2 能化成(ab) 2 的形式，所以形如 a22abb 2 的式子叫做完全平方式，其中 a、b 表示代数式。整式的除法(1) 单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。(2) 多项式除以单项式：用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即(ambm cm) mamm bm mcm m322()abab2 222()()ccabca)3对完全平方公式的灵活应用222
4、()()()abab22()()4aba+2ab这个公式虽然简单应用不简单，对形的感觉需要加以训练。下面再归纳三个的完全字母平方的应用 22()2abcbcacb22)()()()ac22 23cc2()()()abababcbc例 1 已知 ab3，ab ，求(1) ( ab) 2; (2) a2b 2; (3)a3bab 3 的值45分析： 没必要经过平方和这一步，对形的感觉这是。代入22)()（a+b=3,ab=5/4 马上就有结果是 4，第二问结果就是（a+b） (a-b)已知 a+b 只要求 a-b，由第一问明显有 a-b 是 4 的平方根为 结果为 6 或-6 ，第三问原式=代入
5、a+b 与 ab 得到 65/822()()ababab例 2 x-y=3,xy=7 求 ， ，xy34xy分析：考查完全平法，立方差的灵活应用这里需要对形的感觉特别熟悉。把一次式变为二次式最直接的办法就是两边平方。熟悉完全平方公式的结构多退少补的方法我们有 =9+14=23，第二问考查的是立方差公式22()xyxy这里 x-y 已知第二个括号内的东西其实和完全平方公式有紧密联系采()用多退少补的方法即可。 代入 x-y 与 xy 得到了结果为 90222()3xyxy第三问其实只要把第一问结果两边平方即可得到了 代入数据422()xyx得到 431例 3 求 ， ， 求证1nax13a234
6、a213nna分析： =9-2=7, 2()x7代入数据得到结果为 18，3 2()xx38代入 7 得到结果是 47241()ax证明 2222211()()nnnn nxxx= =3（ ） 注意到.3.x13=3 1na笔算开平方的方法1将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用“ ”分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后每两位一段隔开，段数以需要的精度加 1 为准。以 85264 为例。 2根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。 （在例题中，比 8 小的平方数是 4，所以平方根的最高位为 2。 ） 3从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的
7、右边写上第二段数组成第一个余数。4把第二步求得的最高位的数乘以 20 加上试商的数去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。 （例中的试商即为452/(220+9)9.29。 ）5用第二步求得的的最高位数的 20 倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。 （即 9 为平方根的第二位。 ）6用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去所求的积（即 45244111） ，与第三段数组成新的余数（即 1164） 。这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位
8、数（即 29）乘以20 去试除新的余数（1164） ，所得的最大整数为新的试商。 （1164/(2920)的整数部分为 2。 ）7对新试商的检验与前面的一样。 （例中最后的余数为 0，刚好开尽，则 292 为所求的平方根。 ）如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。算理的解释 222(10)abab例 4 已知 x+y=10,x3+y3=100,求 x2+y2。分析：考查立方和 ()yy得到 =10 =10 xy=30 代入就有22xy2 240xy例 5 一个正整数的立方末三位是 999，这个数至少是多少？分析：设这个数为 x ，显然个位为 9. 是 1000 的倍数于是我们有
9、31x明显有 个位为 3 所以 x+1 是 1000 的倍数所以 x 至少321()1)x2是 999例 6 已知 x,y,z 是有理数，且 x=8y,z2=xy16，求 x,y,z 的值。分析：此题未知数多于方程的个数我们就用代入消元法得到了2(8)16zy28160zy22(4=0zy）得到 x=y=4 z=0例 7 已知 a2b 24a2b50，求 的值。ba分析：我们先看 可以类比完全平方公式只是少了个 可以写为2b2()4a同理222(1)然后多退少补就可以得到 0aba=-2,b=1 代入结果为 1/3 例 8 (a+b+c)(a-b+c)(b+c-a)(a+b-c)分析此题考查平
10、方差原式=(a+c)+b(a+c)-b= 2)acb（ 22()ac= 222acbac= =()2244bcc例 9 谈谈三个字母完全平方公式的应用已知 a+b+c=2,a2+b2+c2=8,求 ab+bc+ca 的值。分析：两边平方得到 =422()acab2（ab+bc+ac）+8=4 ab+bc+ac=-2例 10 a=2010x+2011 b=2010x+2012 c=2010x+2013 求 22cabc分析：原式= a-b=-1,b-c=-1,c-a=22221()()()abca代入后结果为 3例 11 已知 求 a+b+c 的取值范围22分析： 非负222()()()()abcabcabca= 2223代入后 222222()()()36()0abcabcabcabcabc，66例 12 请归纳规律235273781974分析结果分别为 1225，5625 5621 7209 2849 2709 最后两个是十位和为 10 个位相等2(10)()0()ababab 前 4 个都是个位和为 10 十位相等(10)(10)(1)(0)abbab
