《2020版高考数学（浙江专用）一轮总复习检测：10.1 椭圆及其性质 含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（浙江专用）一轮总复习检测：10.1 椭圆及其性质 含解析（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题十圆锥曲线与方程【真题典例】10.1椭圆及其性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点椭圆的定义和标准方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2018浙江,17椭圆的标准方程向量、最值2016浙江,7椭圆的标准方程双曲线的标准方程、离心率2015浙江,19椭圆的定义和标准方程直线与椭圆的位置关系、最值、范围椭圆的几何性质1.掌握椭圆的简单几何性质.2.理解数形结合的数学思想.2017浙江,2椭圆的离心率2016浙江,7,19椭圆的离心率双曲线的离心率、圆、直线与椭圆的位置关系201
2、5浙江,19,文15椭圆的离心率直线与椭圆的位置关系分析解读1.椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,是高考命题的热点.2.考查椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质.3.考查把几何条件转化为代数形式的能力.4.预计2020年高考中,椭圆的考查必不可少,考查仍然集中在椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质,以及与椭圆有关的综合问题上.破考点【考点集训】考点一椭圆的定义和标准方程1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,21)已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,右焦点为(22,0).斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程
3、;(2)求PAB的面积.解析(1)由已知得c=22,=63,解得a=23.又b2=a2-c2=4,所以椭圆G的方程为x212+y24=1.(2)设直线l的方程为y=x+m.由y=x+m,x212+y24=1,得4x2+6mx+3m2-12=0.设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1b0)的离心率为63,且经过点(3,1).(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(6,0)的直线l交椭圆于A,B两点,Q是x轴上的点,若ABQ是以AB为斜边的等腰直角三角形,求直线l的方程.解析(1)由e=63a2=3b2,设椭圆方程为x23b2+y2b2=1,则3b2+1b2=1,所以b2=4,所以
4、椭圆的标准方程为x212+y24=1.(2)设AB的中点坐标为(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=ty+6,则由x212+y24=1,x=ty+6得(t2+3)y2+12ty+24=0,AB的中垂线方程为y+6tt2+3=-tx-18t2+3,所以Q12t2+3,0,点Q12t2+3,0到直线l的距离为6t2+1t2+3.|AB|=431+t2t2-6t2+3,所以6=23t2-6,解得t2=9,所以t=3.因此直线l的方程为x3y-6=0.考点二椭圆的几何性质1.(2018浙江镇海中学期中,21)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点组成的四边形的面积
5、为22,且经过点1,22.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的下顶点为P,如图所示,点M为直线x=2上的一个动点,过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM,且与椭圆C交于A,B两点,与OM交于点N,四边形AMBO和ONP的面积分别为S1,S2.求S1S2的最大值.解析(1)因为1,22在椭圆C上,所以1a2+12b2=1,又因为椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为22,所以2a2b=22,即ab=2,解得a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由(1)可知F(1,0),设M(2,t),A(x1,y1),B(x2,y2),则当t0时,OM:y=x,所以kAB=-,直线AB的方程
6、为y=- (x-1),即2x+ty-2=0(t0),由y=-2t(x-1),x2+2y2-2=0得(8+t2)x2-16x+8-2t2=0,则=(-16)2-4(8+t2)(8-2t2)=8(t4+4t2)0,x1+x2=168+t2,x1x2=8-2t28+t2,AB=1+k28+t2=1+4t222tt2+48+t2=22(t2+4)8+t2,又OM=t2+4,所以S1=OMAB=12t2+422(t2+4)8+t2=2(t2+4)t2+48+t2,由y=-2t(x-1),y=t2x,得xN=4t2+4,所以S2=14t2+4=2t2+4,所以S1S2=2(t2+4)t2+48+t22t2
7、+4=22t2+48+t2=22t2+4+4t2+4b0)的离心率为32,点M(-2,1)是椭圆内一点,过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1,l2,设l1与椭圆C相交于点A,B,l2与椭圆C相交于点D,E.当M恰好为线段AB的中点时,|AB|=10.(1)求椭圆C的方程;(2)求ADEB的最小值.解析(1)由题意得a2=4b2,即椭圆C:x24b2+y2b2=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).由x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2作差得,(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0.又当M(-2,1)为线段AB
8、的中点时,x1+x2=-4,y1+y2=2,AB的斜率k=y1-y2x1-x2=.由x24b2+y2b2=1,y=12x+2消去y得,x2+4x+8-2b2=0.则|AB|=1+k2|x1-x2|=1+1416-4(8-2b2)=10.解得b2=3,于是椭圆C的方程为x212+y23=1.(2)设直线AB:y=k(x+2)+1,由x212+y23=1,y=k(x+2)+1消去y得,(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-12=0.于是x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k+1)2-121+4k2.ADEB=(AM+MD)(EM+MB)=AMMB+EMMD
9、=(-2-x1,1-y1)(2+x2,y2-1)+(-2-x4,1-y4)(2+x3,y3-1).(-2-x1,1-y1)(2+x2,y2-1)=-(1+k2)(2+x1)(2+x2)=-(1+k2)4+2(x1+x2)+x1x2=4(1+k2)1+4k2.同理可得(-2-x4,1-y4)(2+x3,y3-1)=4(1+k2)4+k2.ADEB=4(1+k2)11+4k2+14+k2=20(1+k2)2(1+4k2)(4+k2)20(1+k2)21+4k2+4+k222=165,当k=1时取等号.综上,ADEB的最小值为165.炼技法【方法集训】方法求椭圆离心率(范围)的常用方法1.(2018
10、浙江宁波高三上学期期末,4)已知焦点在y轴上的椭圆x24+y2m=1的离心率为,则实数m等于() A.3B.165C.5D.163答案D2.(2018浙江镇海中学5月模拟,8)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的右焦点为F,椭圆C上的两点A,B关于原点对称,且满足FAFB=0,|FB|FA|2|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.22,53B.53,1C.22,3-1D.3-1,1)答案A过专题【五年高考】A组自主命题浙江卷题组考点一椭圆的定义和标准方程(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆x24+y2=m(m1)上两点A,B满足AP=2PB,则当m=时,点B横
11、坐标的绝对值最大.答案5考点二椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,4分)椭圆x29+y24=1的离心率是() A.133B.53C.D.答案B2.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆x2a2+y2=1(a1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由y=kx+1,x2a2+y2=1得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-2a2k1+a2k2.因此|AP|=1+k2|x1-x2|=2a2|k|1+a2k21+k
12、2.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知,|AP|=2a2|k1|1+k121+a2k12,|AQ|=2a2|k2|1+k221+a2k22,故2a2|k1|1+k121+a2k12=2a2|k2|1+k221+a2k22,所以(k12-k22)1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0.由k1k2,k1,k20得1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0,因此1k12+11k22+1=1+a2(a2-2),因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1,所以a2.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a2,由e=a2-1a得,所求离心率的取值范围为00,将AB中点M2mbm2+2,m2bm2+2代入直线方程y=mx+,解得b=-m2+22m2.由得m63.(2)令t=1m-62,00,62,则|AB|=t2+1-2t4+2t2+32t2+12,且O到直线AB的距离为d=t2+12t2+1.设AOB的面积为S(t),所以S(t)= |AB|d=12-2t2-122+2
