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1、4 页 人教版八年级下册第十九章一次函数作双垂分解坐标巧解题专题 作双垂分解坐标巧解题作双垂分解坐标巧解题 解一次函数问题时，过直线上一点分别作坐标轴的垂线，从而把点的坐标分解表示出来，同 时也构造出了三角形的高线，为问题的求解，提供了一种有效的求解途径. 1.1.过交点作双垂线，探求正比例函数的过交点作双垂线，探求正比例函数的 k k 值值 例例 1 1（2018包头）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 1 l：y= 2 4 x+1 与 x 轴，y 轴分 别交于点 A 和点 B，直线 2 l：y=kx（k0）与直线 1 l在第一象限交于点 C若BOC=BCO， 则 k 的值为（） A 2 3
2、 B 2 2 C 2 D2 2 分析分析：利用直线 1 l：y= 2 4 x+1 即可得到 A（2 2，0）B（0，1），AB=3，过 C 作 CDOA 于 D，过 C 作 CEOB 于 E，易证BECCDA，从而确定点 C 的坐标，继而确定 k 值 解解：因为直线 1 l：y= 2 4 x+1，所以到 A（2 2，0）B（0，1），AB=3，OA=22,因为 BOC=BCO，所以 CB=BO=1，AC=2，如图 1，过 C 作 CDOA 于 D，过 C 作 CEOB 于 E， 所以BECCDA， 2 1 AC BC DA EC ,所以 DA=2OD，所以 3DO=AO=2 2,所以 OD=
3、2 2 3 ， 所以BECCDA， 2 1 EO EB CD EB ,所以 EO=2EB，所以 3EB=OB=1,所以 OE= 3 2 ， 所以 C（ 2 2 3 ， 2 3 ），把 C （ 2 2 3 ， 2 3 ）代入直线 2 l：y=kx，可得 2 2 3 k= 2 3 即 k= 2 2 ， 所以选 B 点评点评： 把表示点的坐标的线段通过构造垂线的方法分解出来， 后利用三角形的相似分别求得 线段的长度，最后根据点的位置，确定点的坐标，利用点与直线的关系问题得解. 2.2.过交点作双垂线，探求点的坐标过交点作双垂线，探求点的坐标 例例 2 2（2018 年淮安）如图 2，在平面直角坐标系
4、中，一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A （2，6），且与 x 轴相交于点 B，与正比例函数 y=3x 的图象相交于点 C，点 C 的横坐标为 1 （1）求 k、b 的值； （2）若点 D 在 y 轴负半轴上，且满足 C O D S 三角形 = 1 3 S 三角形BO C，求点 D 的坐标 分析分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，根据点 A、C 的坐标，利 用待定系数法即可求出 k、b 的值； （2）过 C 作 CDOA 于 D，过 C 作 CEOB 于 E，易证OCF 的面积= 1 3 S 三角形BO C， 从而确定点 F 的坐标为（0,4），根据点的对称性可
5、以求得点 D 的坐标 解解：（1）当 x=1 时，y=3x=3，所以点 C 的坐标为（1，3）将 A（2，6）、C（1，3）代 入 y=kx+b，得：-2k+ b = 6 k+ b = 3 ，解得k 1 b = 4 ； （2）根据题意，得点 B 的坐标为（4，0），点 F（0,4）过 C 作 CDOA 于 D，过 C 作 CE OB 于 E，因为 C（1，3），所以 OF=OB=4,EC=1,DC=3,所以 OCF S三角形 = 1 3 S 三角形BO C， 因为点 D 在 y 轴负半轴上， 且满足 C O D S 三角形 = 1 3 S 三角形BO C， 所以点 D 和点 F 关于 x 轴对
6、称， 所以点 D 的坐标为（0，4） 点评点评： 正确处理好两个三角形面积之间的关系， 充分利用三角形的面积计算公式将等量关系 转化成点的对称性问题是解题的关键. 3.3.过交点作双垂线，探求三角形的面积差过交点作双垂线，探求三角形的面积差 例例 3 3（2018 年河北）如图 3，直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= 1 2 x+5 的图象 1 l分别与 x， y 轴交于 A，B 两点，正比例函数的图象 2 l与 1 l交于点 C（m，4） （1）求 m 的值及 2 l的解析式； （2）求 AO CBO C SS 的值； （3）一次函数 y=kx+1 的图象为 3 l，且 1 l， 2 l
7、， 3 l不能围成三角形，直接写出 k 的值 分析分析：（1）先得点 C 的坐标，再运用待定系数法即可得到 2 l的解析式； （2）过 C 作 CDAO 于 D，CEBO 于 E，则 CD=4，CE=2，再根据 A（10，0），B（0，5）， 可得 AO=10，BO=5，进而得出 AO CBO C SS 的值； （3）分三种情况：当 3 l经过点 C（2，4）时；当 2 l， 3 l平行时；当 1 l， 3 l平行时求解. 解解：（1）把 C（m，4）代入一次函数 y= 1 2 x+5，可得 4= 1 2 m+5，解得 m=2， 所以 C（2，4），设 2 l的解析式为 y=ax，则 4=2a
8、，解得 a=2，所以 2 l的解析式为 y=2x； （2）如图 3，过 C 作 CDAO 于 D，CEBO 于 E，则 CD=4，CE=2，y= 1 2 x+5，令 x=0，则 y=5；令 y=0，则 x=10，所以 A（10，0），B（0，5），所以 AO=10，BO=5， 所以 AO CBO C SS = 1 2 104 1 2 52=205=15； （3）一次函数 y=kx+1 的图象为 3 l，且 1 l， 2 l， 3 l不能围成三角形， 所以当 3 l经过点 C（2，4）时，k= 3 2 ；当 2 l， 3 l平行时，k=2； 当 1 l， 3 l平行时，k= 1 2 ；故 k 的值为 3 2 或 2 或 1 2 点评点评：利用分类的思想，确定不能围成三角形的三种情形是解题的关键.
