《语文版中职数学基础模块下册109《一元线性回归》课件1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《语文版中职数学基础模块下册109《一元线性回归》课件1（96页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一元线性回归,1 变量间关系的度量 2 一元线性回归 3 利用回归方程进行预测 4 案例讨论及软件应用,1 变量间关系的度量,1.1 变量间的关系 1.2 相关关系的描述与测度 1.3 相关系数的显著性检验,1.1 变量间的关系 函数关系,（1）是确定的关系 （2）设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 （3）各观测点落在一条曲线上,函数关系 (几个例子), 函数关系的例子 某种商品的销售额y与销售量x之间的关
2、系可表示为 y = px (p 为单价) 圆的面积S与半径之间的关系可表示为S=R2,相关关系 (correlation),（1）变量间关系不能用函数关系精确表达 （2）一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定，但当一个或若干个变量X取一定值时，与之相对应的另一个变量Y的值虽然不确定，但却按某种规律在一定范围内变化。 （3）当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 （4）各观测点分布在直线（或曲线）周围,相关关系 (几个例子), 相关关系的例子 父亲身高y与子女身高x之间的关系 收入水平y与受教育程度x之间的关系 大气臭氧含量y与温度x之间的关系 商品销售额y与广告费支出x之间的关系
3、等等,相关关系 (类型),散点图 (scatter diagram),相关关系的描述与测度,散点图 (例题分析),【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据,散点图 (例题分析),散点图 (例题分析),相关关系的描述与测度 相关系数 (correlation coefficient
4、),（1）对变量之间关系密切程度的度量 （2）对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数 （3）若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 （4）若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r,样本相关系数 (计算公式), 样本相关系数的计算公式,或化简为,协方差cov（x，y）,Var（x）Var（y）,相关系数 (取值及其意义),r 的取值范围是 -1,1 |r|=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关 r = 0，不存在线性 相关关系 -1r0，为负相关 0r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切
5、 下面图形说明上述关系：,相关系数 (取值及其意义),r,相关关系,1、X和Y是地位相互对称的随机变量，所以有r(X,Y)=r(Y,X). 2、相关系数只反映变量间的线性相关程度，不能说明非线性相关关系。 3、相关系数只能反映变量间线性相关的程度，并不能确定变量的因果关系，也不能说明这种相关关系具体接近于哪条直线。,相关系数矩阵 (例题分析),2 一元线性回归,2.1 一元线性回归模型 2.2 参数的最小二乘估计 2.3 回归直线的拟合优度 2.4 显著性检验,什么是回归分析？ (Regression),（1）从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式(数学分析与统计分析) （2）对这些关系
6、式的可信程度进行各种统计检验（在经济意义的基础上），并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 （3）利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,“回归” 一词的历史渊源,“回归”一词最早由Francis Galton引入。 Galton发现，虽然父母的身高对子女的身高起到决定性作用，但给定父母的身高后，他们儿女辈的平均身高却趋向于或者“回归”到社会平均水平。Galton的普遍回归定律（law of universal regression)。 Galton的朋友Karl Pearson通过收集一些家庭的1
7、000多名成员的父子身高数据，证明儿子确实“回归到中等（regression to mediocrity)”,回归分析与相关分析的区别,（1）相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 （2）相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 （3）相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,回归模型的类型,2.1 一元线性
8、回归,（1）涉及一个自变量的回归 （2）因变量y与自变量x之间为线性关系 被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 （3）因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示,一元线性回归模型,描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型 一元线性回归模型可表示为 y = 0 + 1 x + （总体回归模型） y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量，反映了除 x
9、和 y 之间的线性关系外，随机因素对 y 的影响是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异 0 和 1 称为模型的参数，也称为回归系数,样本回归线（函数）,总体回归模型,样本回归模型,几个概念,总体回归线（函数）,样本回归函数,对于大量的实际问题，通常总体回归函数是未知的，因此我们只能从总体中抽取的样本数据进行观测，对于总体的参数，需要用样本回归的参数估计来替代，这样我们有样本回归函数： 其中 是与 相对应的估计值， 和 分别是样本回归函数的估计参数。,样本回归函数与总体回归函数的区别,1、总体回归函数虽然是未知的，但它是确定的；而从总体中每次抽样都能获得一个样本，就都能拟合一条样本回归
10、线，所以样本回归线是随抽样波动而变化的，可以有很多条。因此样本回归线不等于总体回归线，最多只是未知总体回归线的近似表示。 2、总体回归函数的参数是确定的常数；而样本回归线的参数是随抽样而变化的随机变量。 3、总体回归函数中的误差项是不可直接观测的，而样本回归函数的误差项是可以直接计算得出。,回归分析的目的,利用样本回归函数去估计总体回归函数。由于样本对总体总是存在代表性误差，样本回归函数总会过高或者过低估计总体回归函数。我们研究的目的是，需要寻求一种规则和方法，使得样本回归函数中的参数能够“尽可能地接近”总体回归函数中的参数。,一元线性回归模型 (基本假定),（1）误差项是一个期望值为0的随机
11、变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E (y) = 0+ 1 x （2）对于所有的 x 值，的方差2 都相同 （3）误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N( 0 ,2 ) 假定无自相关 误差项与自变量不相关,2.2 参数的最小二乘估计,使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法（OLS回归）拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,最小二乘估计 (图示),最小二乘法（OLS ） ( 和 的计算公式), 根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的公式如下,最小二乘估计量的统计性质,线性 无偏性 有
12、效性（最小方差性）,线性,参数估计量 ， 是Yi的一个线性函数 参数估计量是一个随机变量，采用不同的参数估计方法，会构造出不同的参数估计量 参数估计值是采用样本数据计算的具体数值，不同样本会得出不同的参数估计值,无偏性,回归参数估计量是总体模型参数的无偏估计，即其均值等于总体模型参数值：,有效性（最小方差性）,指在所有线性、无偏估计量中，该参数估计量方差最小,有效性（最小方差）,可以证明，OLS参数估计量的有效性指的是：在一切线性、无偏估计量中，OLS参数估计量的方差最小。,高斯-马尔柯夫定理,如果满足古典线性回归模型的基本假定，则在所有无偏估计量中，最小二乘估计（OLS）量具有最小方差性，即
13、是最优线性无偏估计量（合称BLUE性质） （Best Linear Unbiased Estimator）,线性：参数估计量是Yi的线性函数,无偏性：参数估计量的均值（期望）等于模型参数值。即,有效性：在所有线性、无偏估计量中，最小二乘估计量具有最小方差。,结论： 普通最小二乘估计量具有线性性、无偏性、最小方差性等优良性质。 具有这些优良性质的估计量又称为最佳线性无偏估计量，即BLUE估计量（the Best Linear Unbiased Estimators）。 显然这些优良的性质依赖于对模型的基本假设。,回归方程的求法 (例题分析),【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程,回归方程为：y
14、= -0.8295 0.037895 x 回归系数 =0.037895 表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元,回归方程的求法 (例题分析),不良贷款对贷款余额回归方程的图示,2.3 回归直线的拟合优度 变差,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示,变差的分解 (图示),离差平方和的分解 (三个平方和的关系),离差平方和的分解 (三个平方和的意义),总平方和(
15、SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,判定系数r2 (coefficient of determination),（1）回归平方和占总离差平方和的比例,其实相关系数的平方：,判定系数r2 (coefficient of determination),（2）反映回归直线的拟合程度 （3）取值范围在 0 , 1 之间 （
16、4）R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差 （5）判定系数等于相关系数的平方，即R2r2,判定系数r2 (例题分析),【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义 判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系,2.4 显著性检验,实际意义检验（本例是经济意义） 统计意义检验,实际意义检验,检验参数估计量的符号 检验参数估计量的大小 参数之间的关系,统计意义上的显著性检验,相关系数检验 回归系数检验 线性关系检验,相关系数的显著性检验 (检验的步骤),（1
