科技大学机械工程控制基础系统的稳定性

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1、第五章 系统的稳定性,本章主要教学内容,5.1 系统稳定性的初步概念,5.2 Routh(劳斯)稳定判据,5.5 系统的相对稳定性,5.4 Bode稳定判据,5.3 Nyquist稳定判据,5.3节为本章难点，5.2、5.4、5.5节为本章重点,5.1 稳定性的基本概念,本节教学内容,5.1.1 稳定性的定义,5.1.2 稳定的充要条件,5.1.3 稳定的必要条件,本节教学要求,1.了解系统稳定性的物理 概念,3.掌握用稳定的必要条件 判断系统稳定性的方法,2.熟悉系统稳定性的数学 定义及充要条件,5. 系统的稳定性,不稳定的现象,5.1.1 稳定性的定义,5.1 稳定性的基本概念,稳定性的定

2、义 一个系统称之为稳定的，是指控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的平衡状态。,5.1.1 稳定性的定义,稳定,不稳定,线性系统的稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。 以上定义只适用于线性定常系统。,5.1.1 稳定性的定义,稳定性的其他说法 ,大范围渐近稳定：不论扰动引起的初始偏差有多大， 当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，否则就称为小范围(小偏差)稳定。注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。,稳定性条件的分析方法脉冲响应法：,假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统

3、的输出为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若： 则系统（渐近）稳定。,5.1.2 系统稳定的充要条件,5.1 稳定性的基本概念,脉冲响应法分析,5.1.2 系统稳定的充要条件,如果 pi和i均 为负 值,当 t 时, x0(t)0。 稳定性与零点无关.,线性系统的脉冲响应,线性系统稳定的充要条 件,自动控制系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的根全部具有负实部，或闭环系统的极点全部在S平面左半部。,由已知条件知系统具有负实根或具有负实部的共轭复根，因此系统稳定。,5.1.2 系统稳定的充要条件,举例 某单位反馈系统，其开环传递函数为,其闭环传递函

4、数为：,系统特征方程和特征根为：,系统稳定的必要条件是 系统特征方程各项系数具有相同的符号，且无零系数。,5.1.3 系统稳定的必要条件,5.1 稳定性的基本概念,设系统特征根为s1、s2、sn-1、sn，则,5.1.3 系统稳定的必要条件,各根之和,每次取两根乘积之和,每次取三根乘积之和,各根之积,系统特征方程的全部根具有负实部则特征方程的系数必然同号（不妨设为均大于零）。,用待定系数法分析特征方程根与系数的关系,例 某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。,：被控对象水箱的传递函数,：执行电动机的传递函数,K1 ：进水阀门的传递系数 Kp ：杠杆比 H0 ：希望水位 H ：实际水位,5.1

5、.3 系统稳定的必要条件,5.1.3 系统稳定的必要条件,系统闭环传递函 数和特征方程,K=KpkmK1K0 为 系统的开环放大系数,该系统为三阶系统，但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。 这种系统属于结构不稳定系 统，无 论怎样调整该系统的参数 ，如(K、Tm)，都不能使系统稳定，要使系统稳定，必须对系统进行校正。,系统稳定性 分 析,5.2 Routh （劳斯）稳定判据,5. 系统的稳定性,本节教学内容,5.2.1 Routh行列式,5.2.2 Routh判据,5.2.3 Routh判据的特殊 情况,本节教学要求,1.掌握利用Routh

6、判据判 断系统稳定性的方法,2.了解特殊情况下Routh 判据的运用,牢斯(Routh )判据无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性，属于稳定性判断中的一种代数方法。,5.2.1 Routh行列式,列写Routh行列式，是利用Routh判据进行系统稳定性分析的主要工作，其步骤如下:,列写系统特征方程,计算Routh行列式的每一行都要用到该行前面两行的数据。,计算行列式的其余各行,5.2.1 Routh行列式,例如6阶特征方程,其牢斯行列式为,5.2.1 Routh行列式,如果符号相同，说明系统具有正实部的特征根的个数等于零，系统稳定； 如果符号不同，则符号改变的次数等于系统具有

7、正实部的特征根的个数，系统不稳定。 控制系统稳定的充分必要条件 牢斯行列式的第一列元素不改变符号！,Routh判据 牢斯判据的实质是对Routh行列表中的“第一列”各数的符号进行判断：,5.2.2 Routh判据,注：通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。,例1 牢斯判据判定稳定性,符号改变二次,系统有两个不稳定的特征根.,5.2.2 Routh判据,5.2.2 Routh判据,例2 牢斯判据判定稳定性,系 统 特 征 方 程,5.2.2 Routh判据,例3 牢斯判据判定系统相对稳定性,已知系统特征方程： s3+7s2+14s+8=0 试判断该系统有几个

8、特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。,将s平面虚轴左移一个单位距离，即构造一个z平面，则直线s=-1右侧的极点即为z平面右侧的极点。,劳斯行列表,系统有两个特征根位于平行于虚轴的直线s=-1的右侧。,5.2.2 Routh判据,例3 牢斯判据判定系统相对稳定性,已知系统特征方程： s3+7s2+14s+8=0 试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。,将s平面虚轴左移一个单位距离，即构造一个z平面，则直线s=-1右侧的极点即为z平面右侧的极点。,劳斯行列表,系统有一个特征根位于（-1，j0）点。,5.2.3 Routh 判据的特殊情况,特殊情况1：第一列出现0

9、,第一列出现0,(各项系数均为正数),解决方法：用任意小正数 代之。（因第一列符号改变两次，该系统不稳定。）,特殊情况2：某一行元素均为0,(各项系数均为正数),出现全0行,5.2.3 Routh 判据的特殊情况,劳斯阵列出现全零行表明系统在s平面有对称分布的根,共轭虚根,对称于虚轴的两对共轭复根,对称于虚轴的一对实根,5.2.3 Routh 判据的特殊情况,5.2 Routh (劳斯)稳定判据,【习题5.5】图示系统,确定K、a取何值时,系统维持以=2 s-1的持续振荡。,Xi(s),Xo(s),系统产生持续振荡，说明系统为临界稳定系统，则劳斯行列式的第一列会出现0元素。,5.2 Routh

10、 (劳斯)稳定判据,课后作业,教材185186 页： 5.3，5.4 5.7 (选做题),5.3 Nyquist稳定判据,5. 系统的稳定性,本节教学内容,5.3.1 幅角原理,5.3.2 Nyquist稳定判据,5.3.3 开环含有积分环节 情况,本节教学要求,1.了解Nyquist判据的依 据幅角原理,2.掌握Nyquist判据的使 用方法,3.熟悉开环含有积分环节 时奈氏轨迹的绘制判断,Nyquist稳定性判据是利用系统开环频率特性G(j)H(j)来判断系统特征方程1+G(s)H(s)=0 的根是否全部具有负实部，是一种几何判据，并且还能够判断系统的相对稳定性。奈氏判据的依据是幅角原理。

11、,开环传递函数,5.3.1 幅角原理,系统开环特征多项式与闭环特征多项式关系,5.3.1 幅角原理,幅角原理 设Ls为s平面上一条封闭曲线，F(s)在Ls上解析，Z、P分别为F(s)在Ls内零、极点个数。当s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)在F平面所形成的曲线LF将包围原点N次，且 N = Z- P。,Ls,s,j,o,F(s), F ,Re,Im,o,N=-2,N0：F(s)绕F平面原点顺时针转N 圈； N0：F(s)绕F平面原点逆时针转N 圈。,Nyquist判据基本思想,5.3.2 Nyquist稳定判据,Gk(s)的形状,即: GK平面上的Nyquist轨迹为当由-到+变化时

12、，GK(j)所形成的轨迹。,5.3.2 Nyquist稳定判据,注：由于Gk(-j)关于Gk(j)共轭，因此只需作出从0+的Gk(j)即可。,开环稳定系统(P=0)的Nyquist判据,系统在开环状态稳定的条件下，闭环稳定的充要条件是：当 由-到+变化时，开环 G(j)H(j) 轨迹不包围GH（或GK）平面的(-1,j0)点。,5.3.2 Nyquist稳定判据,系统(a)因为开环Nyquist轨迹不包围(-1,j0)点，且P=0则系统闭环稳定。 系统(b)因为开环Nyquist轨迹顺时针包围(-1,j0)点2圈，且P=0则系统闭环不稳定，且不稳定的极点数: Z=N=2.,例1 图(a)、(b

13、)为P=0的系统的开环Nyquist图，判断相应闭环系统的稳定性。,5.3.2 Nyquist稳定判据,=+,=-,=-,=+,GH,GH,P=0,P=0,例2 已知系统开环传递函数 应用Nyquist判据,判别闭环系统的稳定性。,因为P=1，所以当N=-1时有Z=N+P=0，系统闭环稳定: 当K1时，Nyquist轨迹逆时针包围（-1，j0）点一圈，系统闭环稳定（N=-1）； 当0K1时，系统闭环不稳定（N=0）； 当K=1时，系统临界稳定（Nyquist轨迹穿过(-1，j0)点对应F(s)穿过F平面的原点）。,5.3.2 Nyquist稳定判据,例3 已知系统开环传递函数,系统开环有一个不

14、稳定极点(P=1),而 由 -到+变化时， GH 平面的轨迹 GK(j) 逆时针包围点(-1,j0)一圈(N=-1)，因此Z=N+P=0,系统闭环稳定。,5.3.2 Nyquist稳定判据,的Nyquist轨迹如图，试分析系统的稳定性。,5.3.3 开环含有积分环节情况,问题的提出 当系统开环传递函数含有积分环节（原点处存在极点）或者在虚轴上存在极点时，由于GK(s) 在 Ls 上不再是解析函数，因此不可直接应用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。解决这一问题的基本思路是：用半径0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到s左半平面，从而使得GK(s) 在Ls 上仍然是解析函数

15、。,原点处右半圆弧的数学方程,r 0 时系统开环传递函数,s平面原点处极点所对应的Nyquist轨迹,s = re j (r0),系统开环传递函数, 从00+：,其Nyquist轨迹为GH上幅值为无穷大，弧度为 -v/2的圆弧。,5.3.3 开环含有积分环节情况, 从0/2： （s平面）,（Gk平面）,原点处有极点的系统开环Nyquist轨迹：（1）一般情况,5.3.3 开环含有积分环节情况,其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。（如果是非最小相位系统，且v=2，应如何作辅助线？）,对于最小相位系统，应当以半径为无穷大的圆弧顺时针方向连接正实轴端和 G(j) H(j)轨迹的起始端。,5.3.3 开环含有积分环节情况,原点处有极点的系统开环Nyquist轨迹：（2）最小相位系统,例1 已知系统开环传递函数 ，和开环Nyquist图，应用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。,由于开环Nyquist轨迹顺时针包围(-1，j0)两圈，且P=0，则闭环系统不稳定，且不稳定极点数Z=2。,5.3.3 开环含有积分环节情况,=+,=-,例2 系统的开环传递函数为 其开