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1、1,现代金融研究专题,GARCH模型,2,1、金融时间序列的特点,尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融回报序列普遍表现出厚尾（fat tails）和在均值处出现过度的峰度（excess peakedness），偏离正态分布 波动丛集性（volatility clustering）和波动集中性（ volatility pooling），波动是自相关的 正负冲击的非对称性：好消息和坏消息对投资者的影响 以上的这些特点，传统计量经济学的线性回归模型是无法解决的。 回归的结果可能是错误的,3,4,1、金融时间序列的特点,实证结果表明：金融资产的回报率并不完全满足正态分布 对深市2000.1.4
2、2006.5.9日回报率样本偏度是0.75，峰度是8.91。 由于大多数的金融资产具有明显的重尾性，可以采用两种方法进行改进 条件分布：ARCH和GARCH 寻找其他分布形式来描述，主要有t分布，GED分布和g&h分布,7,8,2 ARCH模型,ARCH，autoregressive conditionally heteroscedastic，自回归条件异方差模型 条件：在时间序列中，给出不同的时点的样本（对于不同时点的观测值），得到残差的方差是不同的，故方差随时间给出的条件而变化，即异方差 自回归：残差平方服从AR(p)过程 若线性回归模型的误差实际上是异方差，却被假定为同方差，这就意味着标
3、准误差的估计值是错误的。 此时，参数的估计量的方差是有偏估计（或者不收敛，是时变的），统计检验和置性区间就不正确！,9,10,普通最小二乘估计（OSL）：回归直线要使得残差平方和最小。 异方差存在时，普通最小二乘估计法给误差方差大的观测值以较大的权重，给误差方差小的观测值以较小的权重。 回归结果：使得残差平方和最小，故产生一个后果，只要方差大的那部分数据得到很好的拟合，这样普通最小二乘不再是有效的参数估计量的方差不再是最小的方差。 这样由OSL估计得到的参数估计量的方差是“伪方差”，无法证明回归参数与真实值的关系。,11,单指数模型的伪回归：中国银行,12,单指数模型的伪回归：中国银行,13,
4、单指数模型的伪回归：中国银行,14,2.1 条件矩,条件均值 对于时间序列x的每个值都存在一个时间序列y的条件分布,理解：条件期望是关于随机变量X的值的函数，对于X不同的取值，条件期望也是不同，即E(y|x)为随机变量。,15,所谓条件期望值函数，也就是因变量对自变量的回归。在本例中，也就是y对x的回归 条件均值是x的函数，若X是一个分布，则条件均值也是一个分布。,回归与条件均值,16,2.1 条件矩,迭代期望定理 若将E(y|x)视为关于x的随机变量，则有,17,2.1 条件矩,条件方差,18,回归与无条件方差,ESS误差平方和，RSS回归平方和，TSS总偏差平方和,19,无条件方差,由此得
5、到方差分解公式：,20,现实中，金融时间序列存在着波动聚集性，而波动的来源是残差，假设较大的波动出现往往随后会出现较大的波动，即波动是相关的，也就是波动自回归的。,21,2.2 ARCH模型的导出,注意：ut是一个白噪声，其无条件方差是一个常数。但是ut的条件方差随时间而变化，假设 服从AR(1)过程（模型的名称来源）,22,回忆：条件期望值等价于回归,Chou，Korner（1992）,23,正态-ARCH（q）,或者,或者,24,2.3 ARCH（1）模型的参数约束,在这里我们还要考察残差序列的平稳性问题！,25,随机过程的平稳性,平稳性：若随机过程的随机特征（如均值，方差）不随时间发生变
6、化，则称该过程是平稳。 区别：条件方差是时变的，故其为一个分布，但是该分布却是平稳的，即平稳随机过程的随机性质不随时间而变。 平稳性的优点：（1）可用系数方程将时间序列的模型化；（2）方程的系数可以利用序列的过去数据来估计得到,26,随机过程的平稳性,定义：平稳随机过程为其联合分布和条件分布均不随者时间而变化的过程。则若yt是平稳的，则对于任意的t，k和M，都有其联合分布满足,回忆：任意的一个时间序列yt都可以被认为是由一组联合分布的随机变量生成，也称其为f(y)的一个实现。 只有平稳的随机过程，其数字特征才是可测的。,27,2.3 ARCH（1）模型的参数约束,由残差序列的平稳性可知,28,
7、2.3 ARCH（1）模型的参数约束,以上考察的是一阶矩和二阶矩对参数的约束，下面考察高阶矩对参数的约束,条件标准差的4次方,无条件的4阶中心矩,29,ARCH的参数的约束,平稳性,30,ARCH的参数的约束,在给出无条件4阶矩和2阶矩的基础上，则残差序列ut的无条件峰度K,该ARCH模型估计的残差序列的无条件分布具有尖峰重尾性，进一步,31,ARCH与重尾性,参看均值方程的情形，若假设某资产的回报率满足,由于均值方程中只有残差是随机过程，则有,以上表明，利用ARCH可以描述回报序列的重尾性！,32,实证：中石化ARCH（1）,33,ARCH的缺陷,ARCH模型对参数的限制非常严格。ARCH（
8、1）对于参数给出的非常严格的限制，并且随着ARCH阶数的增加，其限制将更为复杂，在实际的回归过程中，可能很难满足这样的条件。 ARCH（1）描述金融时间序列是不够的，ARCH（P）需要大量的参数估计，且要保证所有的参数均满足参数约束是很困难的，以及保证显著性是很困难的。 现在，ARCH主要是用来检验金融时间序列是否具有条件异方差效应，即ARCH检验。,34,2.4 ARCH效应检验,（1）进行均值方程的回归，可以采用普通的一元或者多元回归，或者是AR(n)的均值方程，均值方程的构建取决于金融学的研究目的 AR(m)-ARCH（p）,或者,35,ARCH效应检验,（2）根据ARCH模型的定义,因
9、此，首先由均值方程得到残差，然后对其取平方，最后判定上述的各个参数是否显著不为零,36,因此，一个联合的零假设检验，其所有q阶残差平方的系数不能显著地异于零，因此，可以采用F统计量进行参数的联合检验。,如果因变量全部由残差得到了解释，这就表明回归系数是不显著的。,37,ARCH效应的检验：中国银行,ARCH Test: F-statistic 12.02976 Probability 0.000000 Obs*R-squared 35.92259 Probability 0.000000 Test Equation: Dependent Variable: RESID2 Method: Lea
10、st Squares Date: 01/22/07 Time: 17:23 Sample (adjusted): 6 132 Included observations: 127 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.000118 7.33E-05 1.604891 0.1111 RESID2(-1) 0.249216 0.088488 2.816370 0.0057 RESID2(-2) 0.018758 0.080493 0.233038 0.8161 RESID2(-3) 0.478
11、684 0.080462 5.949167 0.0000 RESID2(-4) -0.205310 0.088212 -2.327467 0.0216,38,3 GARCH模型,广义的ARCH模型（Generalized autoregressive conditionally heteroscedastic）是由Engle的学生Bollerslev（1986）和Taylor（1986）各自独立的发展起来的。GARCH模型允许条件方差依赖自身的前期，最简单为GARCH(1,1),类似地，GARCH（p，q）,39,GARCH模型的优点,GARCH模型仅仅包含三个参数就可以表达ARCH存在的无穷
12、多个参数的方程。,40,3.1 GARCH的参数约束,由ARCH模型可知,将上式代入GARCH模型有,41,在ARCH模型中，无条件方差为,则在GARCH模型中，无条件方差为,42,类似地，在ARCH模型中峰度K,则在GARCH模型中峰度K,43,3.2 正态-GARCH极大似然估计,完整的GARCH模型分为均值方程和方差方程 均值方程可以设定要根据不同的意义设定,或者,44,3.2 GARCH极大似然估计,45,3.2 GARCH极大似然估计,由于时间序列y抽样的时候是独立，则对于所有的联合概率密度函数有f(y)，等于边际密度的乘积,说明：对于三个独立的事件A、B和c同时发生的概率是A、B和
13、C三者概率的乘积。同样在从时间序列抽取的样本中，这些样本既然被抽取了，便表示他们同时发生了，似然函数就是同时发生的概率。,46,将似然函数取对数，构造对数似然函数,47,建立似然方程 运用osl回归得到初始参数的值，作为迭代的初始值 选择对条件方差参数的一些初始值。如设定为无条件方差，或者0 设定收敛准则，对于Eviews默认的收敛为0.001,算法：Berndt等（1974）提出的BHHH算法,48,中石化：正态-GARCH（1，1）,49,中石化：osl回归,50,3.3 GARCH滞后阶数的选择,在模型回归参数显著的基础上，为了挑选最优秀的模型其判定的准则是 AIC准则 Schwarz准
14、则,l为对数似然值，T为样本数量，K为参数的个数,51,中石化：正态-GARCH滞后阶数选择,52,GARCH回归后的残差检验,53,4 GARCH方差预测,通过回归得到GARCH参数，以及根据t时刻的残差和方差来预测t+1时刻条件方差 注意：t时刻前，由样本回归得到参数，推断样本外的方差 1步预测方程为,对于n步预测，推导如下,均值方程得到,54,对于两步预测，只能采用t时刻推断出的t+1时刻的方差来估计，给出的仅仅是其期望形式下的方差,55,GARCH方差预测：中石化（自回归）,样本外预测：总共样本有227个（2006/01/04 2007/01/19），回归只用了217个样本（2006/
15、01/04 2007/01/04），剩下的10天通过预测得到（样本外预测） 经过回归得到以下方程,56,57,预测结果,58,59,基于GARCH的VaR模型,60,VaR值与实际回报的对比,61,Eviews计算VaR的程序,series r_zsh=dlog(zsh) %计算对数回报 sample s2 1 217 %设置回归样本 smpl s2 equation eq05 %设定方程eq05 eq05.arch r_zsh c %GARCH（1，1），均值方程的常数为c show eq05.output sample s3 218 227 smpl s3 eq05.forecast v_
16、zshf1 v_zshf2 v_zshf3 series var=1-exp(c(1)-qnorm(0.99)*v_zshf30.5) %计算持有期为1天的VaR,62,5 基于GARCH的蒙特卡洛模拟,步骤： GARCH回归得到参数，向前一步预测GARCH的方差，得到标准差 从标准正态分布中进行抽样得到n个值，得到残差序列 由残差序列代入均值方程得到，回报率序列的分布,63,GARCH仿真程序,将回归得到的中石化的系数代入方程 spec=garchset(C,0.004346,K,0.0000388,GARCH,0.064937,ARCH,0.878674); e,s,y = garchsim(spec,1000); hist(y) garchplot(e,s,y) y,64,65,仿真的回报分布（t+1）,
