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1、7.离散控制系统,7. 离散控制系统,7.1 基本概念,离散控制系统： 具有离散信号的控制系统,连续信号,离散信号,采样,离散化,数字编码,脉冲信号,数字信号,t,y(t),连续信号,采样器,y*(t),脉冲信号,t,T,3T,T,y(kT),数字信号,t,3T,T,0,q,3q,7. 离散控制系统,离散控制系统,采样控制系统,数字控制系统,计算机控制系统,计算机,采样开关和A/D,D/A和保持器,被控对象,反馈器件,-,r(t),e(t),e(kT),f(kT),y(t),b(t),计算机,保持器,被控对象,反馈器件,-,r(t),e(t),e(kT),f(kT),y(t),b(t),S,T
2、,控制器,控制器,7. 离散控制系统,把连续信号转变为离散信号的操作或过程，称为采样。,采样过程：,T,0,t,y(t),y*(t),y(t),y*(t),T,T：采样周期 ：采样持续时间,0,t,T,y*(t),0,t,T,2T,0,y(t),t,t,0,T,-T,-2T,2T,1,(t-kT),y*(t),0,t,T,2T,+,y*(t)：离散信号,7. 离散控制系统,采样的物理过程就是对连续信号每隔一定时间(采样周期T)取其信号值的过程。 显然，采样周期T越小，离散信号y*(t)越接近于连续信号y(t)，即越能反映连续信号的变化；如果采样周期T过大，离散信号y*(t)就不能准确反映连续信
3、号y(t)的变化，即由y*(t)不能复现连续信号y(t)。现在的问题：采样周期T究竟应该在什么范围内为好。,采样定理（香农定理）：采样频率fs至少应是被采样信号最高频率fmax的2倍，即,7. 离散控制系统,保持器：将离散信号（数字信号）转换为连续信号的装置,0,t,y*(t),0,t,y(t),保持器,y*(t),y(t),数值保持,显然，保持器是一种在时域内的数值外推装置。按常数、线性函数和抛物线函数关系外推的保持器，分别称为零阶、一阶、二阶保持器。 零阶保持器（ZOH）：把kT时刻的数值不增不减地保持到下一个采样时刻(k+1)T。其数学表达式为,7. 离散控制系统,离散控制系统的性能主要
4、有： (1)稳定性；(2)响应特性(含控制精度) 但是由于系统的信号类型不仅有连续信号，还有离散信号（数字信号），使得离散控制系统的分析与设计的方法或采用的数学工具与连续控制系统的不相同。主要的数学工具是“z变换”。 离散控制系统的分析思路仍然是：首先，建立数学模型(脉冲传递函数)；其次，基于脉冲传递函数进行性能分析；再次，基于性能分析给出改善性能的控制器设计；最后，进行控制器的工程实现,7. 离散控制系统,离散控制系统的性能主要有： (1)稳定性；(2)响应特性(含控制精度) 但是由于系统的信号类型不仅有连续信号，还有离散信号（数字信号），使得离散控制系统的分析与设计的方法或采用的数学工具与
5、连续控制系统的不相同。主要的数学工具是“z变换”。 离散控制系统的分析思路仍然是：首先，建立数学模型(脉冲传递函数)；其次，基于脉冲传递函数进行性能分析；再次，基于性能分析给出改善性能的控制器设计；最后，进行控制器的工程实现,7. 离散控制系统,离散控制系统（计算机控制系统）的主要特点： （1）计算机担任控制器的作用数字控制器 （2）系统中连续信号和离散信号（数字信号）并存,由此引申出不少的控制优势： (1)控制的适应性强。通过编程可以完成复杂的控制任务 (2)数据存储、计算、分析处理的能力强 (3)易于实现集散控制和网络控制,离散控制系统的知识是计算机控制技术的基础,7.2 z变换,7. 离
6、散控制系统,z变换是拉普拉氏变换的一种变形，它是分析离散系统的一种常用数学方法。 （1）z变换,对于离散信号：,拉普拉氏变换为：,令,（z变量是一个复变量）,离散信号y*(t)的z变换定义为：,7. 离散控制系统,注意：习惯上也称Y(z)是连续信号y(t)或Y(s)的z变换，其含义是指对其采样后的离散信号的z变换,（2）z变换的计算,按定义式计算,这实际上是级数计算方法。一般地，在一定条件下(即|z|R)这个级数是收敛的，可以写成级数和的形式（收敛半径R取决于y(kT)）。,例7.1：计算连续函数e-at的z变换（a0）。 解：连续函数e-at的采样值,其z变换为,若|e-aTz-1|1，则,
7、7. 离散控制系统,按部分分式展开法计算,这是针对连续函数y(t)的拉氏变换式Y(s)的z变换计算方法，其本质是对连续函数Y(t)在各采样时刻的离散序列y*(t)的z变换。,如果,其中：Ci是部分分式展开的系数，pi是Y(s)的极点。,于是有：,按,7. 离散控制系统,例7.2：计算以下函数的z变换。 解：部分分式展开有,查z变换表，可得,7. 离散控制系统,（3）z变换的性质,7. 离散控制系统,（4）z反变换,将Y(z)转换为离散信号y*(t)的操作或过程，称为z反变换，即,例7.3：计算以下函数的z反变换（习题7-3(5)）。 解：多项式长除法,对照z变换表，z反变换为,7. 离散控制系
8、统,例7.4：计算以下函数的z反变换（习题7-3(2)）。 解：部分分式展开,对照z变换表，z反变换为,7. 离散控制系统,7.3 离散系统的数学模型,7.3.1 差分方程,（1）差分的定义,微分方程是连续系统的典型表示形式，对离散系统就是差分方程,对于离散序列信号y(kT)，一般记作：y(k)。定义： 一阶向前差分y(k)=y(k+1)-y(k) 二阶向前差分2y(k)=y(k+1)-y(k)=y(k+2)-2y(k+1)+y(k) 一阶向后差分y(k)=y(k)-y(k-1) 二阶向后差分2y(k)=y(k)-y(k-1)-)=y(k)-2y(k-1)+y(k-2),高阶差分可依此类推。差
9、分的本质是表示离散序列信号前后序列之差,7. 离散控制系统,差分方程的一般形式是（y()、u()分别是离散系统的输出、输入）：,（2）差分方程,例7.5：下图为一离散控制系统，计算其差分方程,u(t),e(t),e*(t),eh(t),y(t),T,零阶保持器,按零阶保持器的作用，其输出应为,积分器,按积分器的作用，在一个采样周期内的输出应为,又有,所以,一阶非奇次差分方程,7. 离散控制系统,迭代法：已知k=0下的y(-j) （j=0,1,n）和已知输入u(k)，以及采样周期T时。用迭代方法计算差分方程，有,（3）差分方程的计算,(1)初始条件：已知k=0下的y(-j)和已知u(k)。 (2
10、)令k=0和计算长度n,k=k+1,计算y(k),kn?,结束,No,Y,注意：采样周期T取得不适当时，计算可能会出现系统不稳定的现象。,7. 离散控制系统,例7.6：计算其差分方程，已知y(0)和输入u(k)。,解：,零输入响应,输入响应,系统的稳定性由零输入响应决定 可见：当|1-aT|1，则(1-aT)ny(0)项随n的增加而衰减，即0a2/T时离散系统是稳定的，否则，不稳定。而对于相近的连续系统，即,只要a0，系统就是稳定的。,7. 离散控制系统,z变化计算法：,例7.7：计算差分方程的解，已知y(0)=y(1)=0和输入u(0)=0。,解: 对差分方程的两边同时进行z变换,由卷积公式
11、,7. 离散控制系统,7.3.2 离散传递函数（脉冲传递函数）,（1）离散系统的传递函数定义： 在零初始条件下，系统输出信号的z变换y(z)与输入信号的z变换u(z)之比，即,注意：这里对输出信号/输入信号的z变换实质是对其采样信号的z变换，采样开关存在与否并不影响这一含义。,对于,，若输入信号是单位脉冲信号，即u(z)=1。有,yg(z)是系统单位脉冲响应信号采样值的z变换,7. 离散控制系统,（2）脉冲传递函数的计算 若已知系统的传递函数G(s)或单位脉冲响应函数g(t)，则对G(s)进行z变换，或按下式计算G(z),若已知系统的差分方程，且初始条件为零，则可以对差分方程进行z变换计算获得
12、G(s),应当指出：离散系统的脉冲传递函数表征系统的固有特性。它是关于z变量的有理函数，除了与系统结构及参数（含采样周期）有关外，还与采样开关在系统中的位置有关。,7. 离散控制系统,对于各环节相串联的离散系统： 若各关节之间都有采样开关，则系统总的脉冲传递函数为各环节脉冲传递函数的乘积，即 G(z)=G1(z) Gn(z)。 若各环节之间没有采样开关，就需先计算串联各环节的总传递函数G(s)=G1(s) Gn(s)，然后再对G(s)进行z变换，即 G(z)=z(G(s)=G1Gn(z),G(s),H(s),-,u(t),y(t),闭环脉冲传递函数,开环脉冲传递函数,e(t),b(t),7.
13、离散控制系统,对于闭环的离散系统：其脉冲传递函数的形式因采样开关所在位置的不同而异。,G(s),H(s),-,u(t),y(t),G(s),H(s),-,u(t),y*(t),G1(s),H(s),-,u(t),y*(t),G2(s),G(s),H(s),-,u(t),y(t),7. 离散控制系统,例7.8：计算控制系统的单位阶跃响应，已知T=0.25。,-,u(t),y(t),解：系统开环传递函数为,取z变换，得开环脉冲传递函数,由系统的闭环脉冲传递函数，有,7. 离散控制系统,已知,有,即,z反变换就为,7.4 离散系统的时域分析,7. 离散控制系统,这里主要介绍离散控制系统的时域性能是：
14、 响应特性（动态响应特性和稳态响应特性） 、稳定性,7.4.1 动态响应特性,离散控制系统在典型信号输入作用下的动态响应，可以采用z变换方法求得，从而可以分析或知道系统的动态响应特性。设离散控制系统的极点为pi（ij时，pipj），输入信号为单位阶跃信号。则离散控制系统的输出为（G(z)为系统的闭环脉冲传递函数，ci为常数）,Z反变换为,动态响应,稳态响应,7. 离散控制系统,离散控制系统的动态响应特性取决于系统在z平面上的极点分布,令s=+j，z=Re+jIm。由于z=eTs，则有,因此（s=2/T）：,可见： (1)极点在z平面单位圆内，离单位圆周越近，动态响应的衰减越慢；反之，越快。 (
15、2)极点位于z平面单位圆周上时，动态响应是等幅变化的。 (3)极点在z平面单位圆外，系统不稳定，其动态响应是发散的。,7. 离散控制系统,7.4.2 稳态响应特性稳态误差,G(s),H(s),y(s),u(s),e(s),-,离散控制系统的误差定义为,其中：GH(z)是系统开环脉冲传递函数，u(z)是系统的输入,b(s),按照z变换的终值定理，离散控制系统的稳态误差就为,依据离散控制系统的开环脉冲传递函数GH(z)所含z=1的极点数，称为0型、I型、II型系统,7. 离散控制系统,对于不同的输入信号，离散控制系统的稳态误差分别为：,Kp、Kv、Ka分别是位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数。,离散系统的稳态误差取决于输入信号u(t)和系统结构GH(z)以及采样周期T,7.4.3 稳定性,稳定性与系统动态响应特性密切相关，离散系统的稳定程度（取决于系统极点在单位圆内的位置）决定了系统动态响应特性。 与线性连续控制系统的稳定性取决于系统极点（即系统特
