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1、1,第4章 机械振动,4-1 简谐振动的动力学特征,4-2 谐振动的运动学,4-3 简谐振动的能量,4-4 简谐振动的合成,4-5 阻尼振动 受迫振动 共振,2,狭义振动：物体在一固定位置附近作来回的往复 运动，称为机械振动。,广义振动：任一物理量(如位移、电流等) 在某一 数值附近反复变化。,振动中最简单最基本的是简谐振动。,简谐振动：一个作往复运动的物体，其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。,3,一、几个谐振动的实例,、弹簧振子,构成：轻质弹簧与刚体联结 条件：位移在弹性限度内，,无阻尼时的自由振动,阻尼： 干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射 自由振动：
2、指系统只受外界一次性扰动，而后的运动 只在系 统内部回复力作用下运动。,回上页,下一页,回首页,4-1 简谐振动的动力学特征,4,（1）平衡位置与坐标原点：,平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原点。,（3）惯性的作用,整个系统是在内部线性回复力和惯性的交互作用下来实现振动的。,回复力与位移正比而反向（线性回复力），即,（2）弹性回复力的特点：,此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。,F= -kx,回上页,下一页,回首页,5,（4）弹簧振子的运动微分方程,解微分方程得：,回上页,下一页,回首页,以振子为对象, 由牛顿定律：,6,（1）平衡位置与坐标原点：,铅直位置为角平衡位置，o为
3、角坐标原点。,（2）回复力矩的特点：,重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：,负号表示力矩方向始终与角位置方向相反,、单摆,回上页,下一页,回首页,7,根据麦克劳林展开,略去高阶无穷小后,（3）惯性的作用：,回上页,下一页,回首页,（4）单摆的运动微分方程,由定轴转动的转动定律：,方程的解为,8,2）复摆运动微分方程,、复 摆,式中h指质心到悬点的距离,由定轴转动的转动定律：,方程的解为,回上页,下一页,回首页,1）定义：,构成：刚体绕水平光滑轴转动 条件：同单摆,9,二、简谐振动的特征,1、动力学特征：,其谐振动的微分方程：,2、运动学特征：,谐振动的运动学方程,式中A、 是由初始条件所决定的两
4、个积分常数,振动系统所受的力是线性回复力（力矩）,物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数。,回上页,下一页,回首页,F= -kx,10,例1: 弹簧下面悬挂一物体，不计弹簧重量和阻力，试证其在平衡位置附近的振动是谐振动。,证：以平衡位置A为原点，向下为x轴正向， 设某一瞬时m的坐标为x，则物体在振动过程中的运动微分方程为,这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原系统动力学特征相同的谐振子系统。,回上页,下一页,回首页,式中 是弹簧挂上重物后的静伸长,11,一、谐振动的运动学方程,以弹簧振子为例，其动力学方程为,该方程的解
5、,即为谐振动的运动学方程,式中A和0为由初始条件所决定的两个积分常数。,回上页,下一页,回首页,4- 2 谐振动的运动学,12,二、描述谐振动的三个物理量,1、振幅A由初始条件x0、v0决定,（1）周期T：完成一次完全振动所需的时间,2、周期T（频率、圆频率 、固有圆频率）,回上页,下一页,回首页,13,(3)圆频率：秒内完成的完全振动的次数,固有角频率,回上页,下一页,回首页,(2)频率：单位时间内所完成的完全振动的次数,即,固有振动周期,(4)固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率,14,3、位相：,位相是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之相取其具有周期性。）,(位位置
6、；相变化的态势）,回上页,下一页,回首页,取使x0 、 v0 均满足的值,15,回上页,下一页,用分析法确定初位相,t=0 时，x0=A, v0=0.,16,回上页,下一页,回首页,17,18,谐振动的速度，加速度特点,2)加速度特征：,1)速度特征：,（ii） “”表示对应于每一个坐标值，有两种可能的方向,回上页,下一页,回首页,19,例2: 振动曲线如图(a)(b)所示，写出它们的振动方程。,回上页,下一页,回首页,20,解：,例3：已知谐振子的振动方程为 (SI), 求振幅、圆频率、频率、初位相、以及t=1s时的位相。,21,例4: 如图，倔强系数为的直立弹簧下端固定，上端与物块相连，另
7、一物块在离为h高处自由落下与发生完全非弹性碰撞，设两物块质量均为m 试写出该系统的振动表达式 使两物块碰后能一起振动而不分离时h的最大值,以B，C均压在弹簧上静平衡为坐标原点，向下为x轴正向，B，C发生碰撞完结瞬时开始计，则该谐振动系的初始条件为：,回上页,下一页,回首页,22,因此系统振动表达式为,两物竖直方向向下运动时的加速度不能大于g即：,回上页,下一页,回首页,23,例5:一质量为M的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12cm，在距平衡位置6cm处速度是24cm/s，求： （1）周期T； （2）当速度是12cm/s时的位移。,解（1）,代入有关数值,（2）,回上页,下一页,回首页,2
8、4,例6: 有一轻弹簧，当下端挂一个质量110的物体而平衡时，伸长量为4.9用这个弹簧和质量216的物体连成一弹簧振子若取平衡位置为原点，向上为轴的正方向将2从平衡位置向下拉 2后，给予向上的初速度05 cm/s 并开始计时，试求2的振动周期和振动的数值表达式,取下1挂上2后,回上页,下一页,回首页,l 1g 1 g/ l 2 (),解：设弹簧的原长为 ，悬挂1后伸长 ， 则,25,时， 0210-2m 0510-2ms-1,解得, tg-1（00）12.6 或在第三象限， 0 18012.6,振动表达式为 2.0510-2cos（11.22.92） （）,应取 0 180+12.6192.6
9、3.36 rad 也可写成 0 2.92 rad,回上页,下一页,回首页,26,三、简谐振动的旋转矢量表示法,27,回上页,下一页,回首页,参考圆、参考点：,(1) 所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；而矢量的端点则谓之参考点。,参考点在坐标轴上的投影才是谐振动,（2）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限,由图可知:,28,位相差,两个振动在同一时刻t的位相差 =2-1=(2t+20)-(1t+10)=(2-1)t+(20-10),x1=A1cos(1t+10) x2=A2cos(2t+20),1）两个简谐振动的位相差,若1=2，,回上页,下一页,回首页,则=20-1
10、0,当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同,称同相,当=(2k+1) , 两振动步调相反,称反相,2 超前于1 或 1 滞后于 2,位相差反映了两个振动不同程度的参差错落,29,一个谐振动从一个状态到另一个状态经历的时间间隔为 t=t2t1= T 2,2）同一振动在不同时刻的位相差,同一振动在t1、t2时刻的位相差为 =(t2+0)-(t1+0)=(t2-t1),30,用旋转矢量表示相位关系,同相,反相,31,谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系,32,由图可见：,33,例7: 一质点作简谐振动的圆频率为，振幅为A，当t=0时质点位于 x=A2 处，且向X轴正方向运动，试画出此振动的旋
11、转矢量图。,解：由已知条件可知，t=0时，,与之对应的初位相角在第四象限,34,一、动能,二、势能,三、总能,四、动能和势能在一个周期内的平均值,回上页,下一页,回首页,4- 3 简谐振动的能量,35,同理平均势能,回上页,下一页,回首页,在一个周期 T 内的平均动能,36,例8: 谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于,解：,回上页,下一页,回首页,37,例9: 一物体质量为 0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的倔强系数 k=25Nm-1，如果起始振动具有势能 0.06J 和动能 0.02J，求（1）振幅；（2）经过平衡位置时物体的速度。,解（1）,（2）过平衡点时，x=0，
12、此时动能等于总能量,38,一、两个同方向、同频率谐振动的合成,X1 = A1cos ( t+ 10) X2 = A2 cos ( t+ 20) 求： X X1 X2,1、 计算法,回上页,下一页,回首页,4- 4 简谐振动的合成,39,两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同频率的谐振动，其中,回上页,下一页,回首页,合振幅,初位相,40,2、旋转矢量合成法,回上页,下一页,回首页,利用正切函数求得合振动的初位相.,两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度 旋转，故形成稳定的平形四边形。,利用矢量加法的平行四边形法则，合振动的旋转矢量为A,合振幅,初位相,41,振幅最大 Amax=
13、A1+A2,振幅最小 Amin= |A1 A2|,3、位相差对合振幅的影响,（1）若位相差,（2）若位相差,振幅A AminAAmax,回上页,下一页,回首页,42,例10 两谐振动振动方程分别为,解 这两个谐振动的位相差为,作旋转矢量图，利用旋转矢量合成法，合振动为,回上页,下一页,回首页,43,解：设合振动为,例11: 两谐振动方程分别为,回上页,下一页,回首页,44,因两旋转矢量的角速度1，2 ，不相同，平行四边形的形状要发生变化，矢量A的大小也随之而变，出现了振幅有周期性的变化。,1、利用旋转矢量合成法,二、同方向、不同频率两谐振动的合成拍,回上页,下一页,回首页,45,因此，当两个振
14、动频率接近时，合成中由于周期的微小差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减弱的现象称为拍。 合振动在单位时间内加强(或减弱)的次数称为拍频。,回上页,下一页,回首页,46,2、拍振动表达式,设分振动为,3、拍频：指合振幅变化的频率,余弦函数的周期应为2，但取绝对值后，周期为，故合振幅变化的周期,即“拍频”等于两个分振动频率之差,回上页,下一页,回首页,47,4、“拍振动”的应用,声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。 利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振荡器等等。,回上页,下一页,回首页,48,例12 一质点在X轴上作简谐振动，振幅A4cm，周期T2s，其平衡位置取
15、作坐标原点。若t0时质点第一次通过x2cm处且向X轴负方向运动，则质点第二次通过x2cm处的时刻为 （A）1s；（B）（2/3）s；（C）（4/3）s；（D）2s。,解：,选（B）,回上页,下一页,回首页,49,例13 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示。振子在位移为零，速度为A、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲上的点。振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为2A和弹性力为KA的状态，则对曲线上的点。,答：当x=0、a=0、F=0时：应为 0点，b点，d点，f点,又 v=-A, 则应为b点, f点,当x=A、a=-2A 、v=0、F=-kA时：应为 a点，e点,回上页,下一页,回首页,50,解：（1）,（2）,51,一、 阻尼振动,阻尼振动,能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。,摩擦阻尼： 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用而减小，系统的动能转化为热能。,辐射阻尼： 振动以波的形式向外传播，使振动能量向周围辐射出去。,4-5 阻尼振动 受迫振动 共振,52,阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）,振子动力学方程,振子受阻力,系统固有角频率,阻尼系数,弱介质阻力
