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1、非常道 没有答不了的难题， 只有学不完的知识 ， 即直线过定点（ ， ） 性质 已知抛物线 （ ） ， 过焦点 （，） 的直线交抛物线于点、， 设点关 于轴的对称点为点（，不重合） ， 则直线 过定点（， ） 归纳统一 由此， 得到圆锥曲线的一个统一的性质： 性质 已知圆锥曲线， 过焦点的直线交 曲线于点、， 设点关于轴的对称点为点 （，不重合） ， 则直线过焦点对应的准线与 轴的交点 变式拓展 笔者结合相关题目的研究， 又做了如下探究 性质 为圆锥曲线垂直于轴的动弦， 点为焦点对应的准线与轴的交点， 交曲线 于点， 则直线过焦点 性质 点为圆锥曲线的焦点， 点为焦点 对应的准线与轴的交点，
2、过曲线上一点的 直线交曲线于另一点， 点关于轴的对 称点为点（，不重合） ， 则， 点共线 证明 （ 以椭圆为例）设（， ） ，（，） ， （，） ，把： 代入椭圆方程， 得 （ ） 由根与系数的关系得 ， ， 点共线 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 把代入， 得 成立 所以， 点共线 性质 为圆锥曲线垂直于轴的动弦， 点为焦点对应的准线与轴的交点， 则直线 与的交点恒在曲线 上 证明 先设为直线与曲线的不同于 的交点， 由性质知， 点共线， 即在 直线 上 为直线 与的交点， 即点恒 在曲线上， 得证 （ 作者单位： 甘肃省民乐县第一中学） 江苏 杨品方 奚慧郡 数学计算的一种重要方
3、法就是化简 在化简的过 程中， 如果能留意加法与乘法的分配律、 结合律等都 能有效地简化运算 同样， 在排列数和组合数的运算 中， 除了直接按定义计算， 恰当地运用一些性质， 巧妙 地进行一些常见变形等， 都能给计算带来相当多的方 便比如， 二项展开式中就有组合数的出现， 运用好二 项式定理就能巧妙地、 便捷地化简并计算组合数求和 的问题 直接计算 对于单个或少数几个组合数求和的式子， 通常可 以直接用组合数计算公式来计算 例 计算 的值 原式 个组合数 、 中的、 基本没有什么 关系， 而且都是相对较小的自然数， 按定义 容易得到结果， 就按定义直接计算即可 运用组合数性质 对于多个组合数相
4、加的式子， 如果组合数 相 互间有着特定联系， 就可以考虑条常用的性质， 即 和 尤其是后一条性质， 能 迅速使得项变成一项， 从而使多项变成一项， 避免 了组合数公式多次套用的繁琐 例 计算 的值 原式 如果按定义直接计算 个组合数， 再相加， 费时费劲， 所以考虑组合数的性质可以使计 非常道 离开奋斗的沃壤， 天赋的种子便寻不到春华秋实的前程 算简化 运用二项式定理 二项展开式有通项 ， 其中 称为 二项式系数， 这里的依次取了， ， 所以 遇到 、 或是 的问题，可以考 虑运用二项式定理 ） 的求和 例 求 的值 分析 该式中的 中的取值呈间隔状， 全是 偶数 在（ ） 展开式中， 令，
5、 则有 （） （） 移 项， 得 考虑到左右边之和为 ， 那么可以得到左右 边都为 解 由二项展开式有 ，其中奇数项之 和与偶数项之和相等 ） 的求和 例 求 的值 分析 在通项 中， 有 与 的 乘积， 只要令， 通项就变形为 解 在（） 展开式中， 令， ， 有 鉴于通项 是组合数与、 的 指数幂的乘积， 上述例的计算还可以推广 到组合数与等比数列之积的求和如 （ ） 又如 的求和， 令 ，即可； 也可以 写成 （ ） ， 每项提取公因式 后， 则成为例 问题， 令 ， ， 就有 （ ） ） 的求和 考虑到 ！ ！ （） ！ （） ！ （ ） ！ （）（） ！ ， 求和时可以提取公因式，
6、进而转化为例 问题 例 求证： （） 证明 通项可变形为 （ ） 所以 （） （ ）（ ） （ ）（ ） 系数可以取， ， 给我们以等 差数列的感觉， 如例的计算还可以推广到 组合数与等差数列之积的求和事实上， 我们可以先 作这样的变形： （ ） （ ） （） 运用“ 算 次” 同学们都能使用“ 面积法” 快速计算这样的问题： 直角边长分别为和的三角形的斜边上的高为 对于三角形， 次计算面积， 结果是相同的， 从而 计算出一个未知量， 这样的方法就是“ 算次”应该 说， 上文提及的性质 也可以用“ 算 次” 来获得， 用好“ 算次” ， 我们还能化简很多组合数 之积的求和式子 例 化简（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 考虑等式（ ） （ ） （ ） ， 由左 边展开式可以得到 的系数为 而右边 展开式为（ ） （ ） ， 的 系数 为 （ ） （ ） （ ） （ ） 种计算 的系数所得应该是一致的， 所以 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 对于复杂问题， 通常需要分类讨论， 按着 种不同的分类方法， 就是“ 算次” 熟记组合数计算公式， 把握组合数的条主要性 质， 关注二项式定理中、的特殊取值带来的简便求 和， 灵活用好“ 算次” ， 就能无惧于组合数求和了 （ 作者单位： 江苏省苏州市吴中区苏苑中学）
