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1、1 () () 2 2 22 121122 2 12121122 11 2 12121122 11 1 1 2cos3sin0 cos3sin40. 2cos 2cos 2sin xxy aa axx aaa a x a aaa a x a yx += = += + = = = xxxyyyy ，指出下列方程的类型并化为标准形式。 1） uuuu 解：方程的判别式 所以方程为双曲型。 dy dx 该方程的一组特征微分方程为 dy dx 积分得到特征曲线为 111 2222 2 111222 22 1112 2 2sin 2sin2sin 2sin 2sin 0 8 2 xccyxx yxxcc
2、yxx yxx yxx UUU B aaa xxxyyxyy aa xx y +=+ = +=+ + =+ += =+= =+ 1211 12 1 = 于是令 此时原方程可以转化为2AA 其中，A A ()() 2 221 2 222 1112221 22 2 2 sin 2sin 0 0 abyx yy Baaabyx xx yyy UUU uuu += =+= += += 1 所以16y+sinxy+sinx + 由于y+sinx=，所以上式可以变为关于 ， 得标准方程 2 + 32 2 () 2 2 222 121122 12 11 2 2 2 1112 220 0. , (). 0 2
3、 xyy aa axyx y ay ax y ycxcx x uuu B aa xxy += = = = += =+ 2 xxxyyy 2211 22 ） x uuu 解：方程的判别式 所以方程为抛物型。 dy 该方程的一组特征微分方程为解这个微分方程得到： dx 其中 为常数 ，因此令=，选 此时原方程可以转化为2AA 其中，A 2 2 22 222 111222 22 222 111222 22 22 2 22 20 0 2000 ay y aaa xx yy Baaa xx yy uu yy = =+= =+= = 1 1 A 最后得到，当时， 3 ( ) 2 2 121122 2 12
4、121122 11 2 12121122 11 111111 22222 1030 53*3160. 3 1 3 33 11 33 3 aa a aaa a a aaa a a yxccyx yxccyx yx += = + = = =+= =+= xxxyyy 3） 3uuu 解 ： 方 程 的 判 别 式 所 以 方 程 为 双 曲 型 。 dy dx 该 方 程 的 一 组 特 征 微 分 方 程 为 dy dx 积 分 得 到 特 征 曲 线 为 = 于 是 令 2 111222 222 1112221 22 222 1112221 22 1 3 0 32 3 20 20 yx UUU
5、 B aaa xxxyyxyy aaab xx yyy Baaab xx yyy = += =+= =+= =+= 1211 12 1 1 此 时 原 方 程 可 以 转 化 为 2AA 其 中 ， A A 所 以 2 0 U = 4 () ()() ()()() ()( )( )()( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 1 12 1 1212 1 12 1 1 1 2 2 ,0cos,0 cos,0 cos1 222 cos1 22 xx t t x x x x x x a ux u xxuxe fxatfxat fxfxxuxafxafxe fxfxe dc xc f
6、xe d aa x fxe d a = = = =+ =+= + + =+ +=+ ttxx ttxx 求定解问题 uu 解：根据齐次化原理，可将问题转化为求解问题 由达朗贝尔公式得到 2. 2 x t () ()() ()()()( ) () () () ()() ()() 2 0 0 5 ,0 ,0,0sin 11 , 22 1 ,: 2 111 ,sin 222 t x at x at x a t t x a t x att x at ax atxt u xxu xx u xtx atx atd a dfd a u xtx atx atdda aa + + + =+ + = =+ + =
7、+ ttxx 求 定解 问题 uu 解：利用公式 该非齐次方程的初值问题可以写成如下的的形式 () () 32 11 sin sin 62 x a t x a t d x xxatatt a + = + 7 () ()( ) ()() ( )( )()() ()() 22 22 2 2 22 22 2 6 0,0 ,0 0 0 , uu axt tx u xx uu a uu tx t a txuu a xt x f xat f xxf xatxat xat += = += = += = = = 求右行单波方程初值问题 解：方程两边分别对x,y求导得到： 由于为右行波，故可以令：u x,t 根
8、据初值条件得到，于是得到 所以 u x,t () ()( )()( ) ()( )( )() ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ()( )( )( )() 00 00 7 , 0,0 , 0000 00 000 ,0, yx yx u f x y x y uyy u xx u x yh xg ydfd hg yyhg h xgxh xgx h xg yxyhgxy u x yxydfd = = =+ +=+= +=+= +=+=+ =+ 2 求定解问题 解：方程两边同时对x,y进行积分得 代入
9、初始条件得 所以， 8 () ()( )()( ) ()()() ( )()( ) ()( )( ) ()( )( ) ()( )( ) ()( ) ()( ) ()() 12 1221 1212 21 1 12 8 ,0 , 0220 2020 0 2 , 0 2 xt u xxx u x xx f x tfx t ffxxfxxf fxfxfxxf x t fx tf u x tf x tf x t f x tf = = =+ += += = =+ + += ttxx 求解弦振动的古尔沙问题 uu 解：根据题意，可令u x,t 代入初始条件得 () ( )( )( ) 2 21 000 2
10、222 x t x tx tx tx t ff + =+=+ 9 () ( )() ()() ( ) ( )( )()( )( ) ()() () ()( )() ()() 2 0 000 2 0 9, 0,0 0 ,0,00 1 0,0, 0,0 0,0 ,0,00 ttxx x x tatt x ttxx t x ua uxt u h xt x u xux h x a hdatda hd a utut ua uxt uta hdt u xux = = = = = = 该问题是半无界弦的振动问题，在x0部分,弦振动按右行波传播 ，故可设解为其中 为任意可微函数，代入边 界条件得到，若令z=-
11、at z0 ,得到: 于是得到 当时定义，于是所求问题的解为 0 0 x t a x t a =+= =+= = =+= =+ =+ ttxxyy yy ttxx 10 求定解问题 uuu 解：由得，u。于是问题转化为 uu 令 为参变量，利用达朗贝尔公式得 2222 xta yt+ 11 () () ()() () ()( )()( )() () () () 22 2 2 2 11, 10,0 , ,0 ,0,0, , t uxu aha txht F x atG x at h x FGxtxt u xx u xxx h x u xt = + = = = = + + + = 其F,G为二阶可
12、微的函数。 从 而 得 到 u x,t 解 关 于 函 数的 定 解 问 题 ： 根 据公 式 可 得 ： v x,t v x,t 于 是 u x,t () () () () () () () ( ) 1 . 2 x at x at h x atx ath x atx at x h a h x + + + + 12 () ()() () ()( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )() 12 0,0 0,0 ,0sin2sin3 , , 0.1 0.2 0 0cossin,0, Dxt utut u xxx u x tXx T t Xx TtDXx T t TtDT tTtXx DT tXxXxXx XxAxBxut = = =+ = = += = += =+= txx 利用分离变量法求定解问题 uu 解：令于是得 整理得 当时，得到的是平凡解，不考虑。 当时,由()( )( ) () ( )() ( )( )( ) () 2 2 ,000 0 cos0sin00 ,1,2,3, cossin0 ,sin,1,2,3, 0, ,si n nn Dtn Dt nnnnnn nn utX
