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1、巧用二次求导解决函数单调性和极值问题,深圳市民办学校高中数学教师欧阳文丰制作,导 言,在历年高考试题中，导数部分是是以导数作为压轴题来考查。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：求函数的定义域；求函数的导数；求 的零点；列出 的变化关系表；根据列表解答问题。 而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。,一二阶导数与凸性,一二阶导数与凸性 定义1
2、. 设 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 与 ， 恒有 ，那么称 在 I 上的图形是凹的； 如果恒有 ，那么称 在 I 上的图形是凸的； 定理1 设 在 上连续，在 内可导，那么： （1）若在 内 单调增加，则 在 上的图形是凹的； （2）若在 内 单调减少， 则 在 上的图形是凸的；,一二阶导数与凸性,定理 2设 在 上连续，在 内二阶可导，那么： （1）若在 内 ，则 在 上的图形是凹的； （2）若在 内 ，则 在 上的图形是凸的 凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识, 因此, 它不属于高中数学的研究范畴, 但是, 近年来的高考试题中有许多与
3、二阶导数的凸性有关的高考题。 凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合 的关系可以方便地判断一个函数与其导函数图像的关系。,二二阶导数与极值,二二阶导数与极值 在高中，判断函数是否在 取得极值，经常是利用函数导数在 两侧的符号来判断。实际上，还可以利用二阶导数的符号来判断 是否为函数的极值点。有如下的判定定理： 定理3设函数 在点 处具有二阶导数且 ， ，那么 （1） 当 时，函数 在 处取得极大值； （2） 当 时，函数 在 处取得极小值,典型例题讲解,例题1、已知函数 ，求函数 的单调区间。 解： 的定义域是 .,设,则,典型例题讲解,当,当,时,所以,函数,上是减函数.,当,当,所以，函数
4、的单调递增区间是 ，递减区间是 .,典型例题讲解,例题2、设函数,（）若,求 的单调区间；,（）若当 时，,。求 的取值范围。,典型例题讲解,（2）、解：当 a 0时，在区间 上显然 ，综上(1)可得在区间 上 成立。故 a 0满足题意。 当 a0 时， ， ， 显然 ， 当 在区间 上大于零时， 为增函数， ，满足题意。而当 在区间 上为增函数时， ，也就是说，要求 在区间 上大于等于零，又因为 在区间 上为增函数，所以要求 ，即 ，解得 。 综上所述，a 的取值范围为 。,典型例题讲解,例题3、已知函数 . （）若 ，求 的取值范围； （）证明： 解：第一问难度不算大，大多数同学一般都能做
5、出来。采用分离参数法解决恒成立问题就行了。 而第二问是属于运用导数工具证明不等式问题。用 去分析 的单调性受阻。,典型例题讲解,我们可以尝试再对 求导，可得 ，显然当 时， ；当 1 时， 0 ，即 在 区间 上为减函数，所以有当 0x 时， ，我们通过二次求导分析 的单调性，得出当0x 时 ，则 在区间 上为增函数，即 ，此时， 则有 成立。 下面我们在接着分析当 1x 时的情况，同理，当 1 x时， 0，即 在区间 上为增函数，则 ，此时， 为增函数，所以 ，易得 也成立。 综上， 得证。,典型例题讲解,例题4、设a 为实数，函数 。 （）求 的单调区间与极值； （）求证：当 a 且x 0时， 。 （）解：设 ，则：,典型例题讲解,由上表可知 ，而,由a 知 0，所以 0，即 在区间 上为增函数。,于是有,，而,故,0，即当a 且x0时， ,课后练习题,设函数 ，,（）证明：当 时，,（）设当 时， ， 求a 的取值范围 。答案：,
