《因式分解相关知识点整理【竞赛专用】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解相关知识点整理【竞赛专用】（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1页 - 2008.09 - v1.01 因式分解相关知识点整理【竞赛专用】因式分解相关知识点整理【竞赛专用】 1. 1. 1. 1.因式分解的思路因式分解的思路：“一提、二代、三分组” 2. 2. 2. 2.常用公式常用公式： )(n6 )(n5 33)(4 )(3 2)(2 )( 1 122321 122321 32233 2233 222 22 += +=+ += += += += nnnnnnn nnnnnnn babbabaababa babbabaababa babbaaba babababa bababa bababa 为正整数，则若 为正奇数，则若 应用公式时，按某个字母降幂
2、排列是一个简单而有用的措施，值得注意。 3. 3. 3. 3.常用分组方法常用分组方法（注意：每组项数须平均分配） ： （1）按不同字母分组 （2）b.按不同字母的幂分组（幂次相近的放在一起） （3）按不同项的系数分组 注：当分组不当，无法继续分解原式时，就应回到分组前的状况 4. 4. 4. 4.拆项与添项拆项与添项 （1）若整式按某一字母的升幂或降幂排列，那么以拆开中项为宜。 （2）可以配完全平方（配方法） 5. 5. 5. 5.十字相乘法十字相乘法（二次齐次式也可用此法分解，令代入原式即可） 22 cybxyax+1=y 补充一个结论： 若二次三项式的系数和，则cbxax+ 2 0=+c
3、ba)(1( 2 caxxcbxax=+ ax + c bx+d adx+cd 2 abx+bcx 2 abx+ xbcad)(+cd 例子： x +2 x +3 x3+6 2 x+x2 2 x+x5+6 将以上竖式简化，就可以得到十字相乘法的竖式： ac bd bcab+ 12+ 13+ 5 第2页 - 2008.09 - v1.01 6. 6. 6. 6.双十字相乘法双十字相乘法（应用于形如的二元二次式 ，或者是形如feydycybxyax+ 22 的三元齐次式.） 222 fzeyzdxzcybxyax+ 把其中三组二元三项式或二元齐次式分别用十字相乘法来分解， 如果其中两组包含相同字母
4、 的分解式所得到的数字一样.且另外两个不同字母的结果符合某一项的系数的话，分解式的 系数就为第一行的三个数和第二行的三个数，直接代入原式即可. 7. 7. 7. 7.换元法换元法（略） 8. 8. 8. 8.余数定理余数定理（的齐次式也可以采用同样的方法）yx、 01 1 1 )(axaxaxaxf n n n n += 如果，那么是的因式，反过来，如果是的因式，那么0)(=cf)(cx)(xf)(cx)(xf .（证明过程略）0)(=cf 注：有理根的分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数. q p c=p 0 aq n a 如果整系数多项式的系数为 1.，有理根都是整数根.)(xf1=q
5、 补充三个重要结论： （1）若多项式的系数和等于 0，那么 1 是它的根，即是它的一次因式.) 1( x （2）若多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于 0，那么-1 是它的根，即) 1( +x 是它的一次因式. （3）若多项式可以分解为几个有理数系数的积，则其一定能分解为几个整系数的多项式的 积. 9. 9. 9. 9.待定系数法待定系数法 设待定系数，通过比较系数得出方程组，利用系数为整数的条件求解即可. 10.10.10.10.轮换式与对称式轮换式与对称式 两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）. 基本轮换式 一次齐次轮换式：)(zyxl+ 二次齐次轮换式：)(
6、)( 222 zxyzxymzyxl+ 三次齐次轮换式：kxyzzxyzxymxzzyyxmzyxl+)()()( 222222333 这里，都是待定常数knml、 第3页 - 2008.09 - v1.01 补充两个常用公式： （1）)(3 222333 cabcabcbacbaabccba+=+ （2）)()()( 2 1 3 222333 accbbacbaabccba+=+ （3）当时，0=+cbaabccba3 333 =+ 11.11.11.11.实数集与复数集内的分解实数集与复数集内的分解 （1）利用二次方程求根公式来分解二次三项式. （2）代数基本定理：在复数集内，对于多项式在
7、复数集内，对于多项式（ 01 1 1 )(axaxaxaxf n n n n += n 是正整数） ，一定有复数是正整数） ，一定有复数使得使得. . . .c0)(=cf （3）实系数多项式的虚数根是两两共轭的实系数多项式的虚数根是两两共轭的. . . .因而，在实数集内每个多项式都可以分解为一次 因式与二次因式的积. （4）1 的立方虚根，并且（可将代入2 31i = =+=+= 223 111，=x 多项式，求得因式） （5）单位根：一般地，在复数集内有个次单位根，它们是nn ，其中), 2 , 1( 2 sin 2 cosnk n k i n k =+ 1 2 sin 2 cos=+
8、n n i n n 如果与互质，则称为本原单位根.kn n k i n k2 sin 2 cos+ （6）分圆多项式：与次本原单位根对应的一次因式的积的整系数的多项式.n 分圆多项式在有理数集内不可约的分圆多项式在有理数集内不可约的. . . . 12.12.12.12.既约多项式相关知识既约多项式相关知识 （1）艾森斯坦（Eisenstein，18231852）判别法 设设是整系数多项式是整系数多项式 01 1 1 )(axaxaxaxf n n n n += 如果存在一个质数如果存在一个质数满足以下条件：满足以下条件：p 1. 1. 1. 1.不整除不整除；p n a 2. 2. 2. 2.整除其余的系数（整除其余的系数（） ；） ；p 110 , n aaa 3. 3. 3. 3.不整除不整除. . . . 2 p 0 a 那么，那么，在有理数集内不可约在有理数集内不可约. . . .)(xf （2）绝对不可约 有些多元多项式，即使在复数集内也不能分解，这样的多项式称为绝对不可约.
