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1、 勾股定理1. 知识总结1. 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么2勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为,大正方形面积为， 所以 方法三：，化简得证3勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它
2、只适用于直 角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。4勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题5勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较:若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，为三边的三角形是钝角三
3、角形；若，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；定理中,及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6. 勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）7. 勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把
4、握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解8. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成
5、对问题的解决常见图形：10.互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。应用题的常见题型及数量关系： (1)行程问题：路程速度时间 (2)工程问题：工作总量工作效率工作时间 (3)浓度问题：溶质溶液浓度 (4)利率问题：本息和本金利息，利息本金利率期数 (5)利润问题：利润成本利润率，利润售价成本 (6)价格问题：总价单价数量 (7)水流问题：顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度 此外还有：等积变形问题、数字问题、比例问题、调配问题、与几何图形相关的问题、勾股定理复习题一、选
6、择题 1.如图直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积【 】图3（A）4 (B) 6 (C) 16 (D) 552 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 【 】（A）12 （B）7 （C）12或7 （D）以上都不对 3 若三角形三边长为a、b、c，且满足等式，则此三角形是（ ）.（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）直角三角形 4直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（ ）.（A）6 （B）8.5 （C） （D） 5 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周
7、需 （ ）.（A）6秒 （B）5秒 （C）4秒 （D）3秒6 如图5所示，在长方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且BE=12，BF=16，则由点E到F的最短距离为（ ）. （A）20 （B）24 （C）28 （D）327 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么 的值为（ ）.（A）1 （B）12 （C）13 （D）25 图28已知、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是 【 】（A）底与边不相等的等腰三角形 （B）
8、等边三角形 （C）钝角三角形 （D）直角三角9如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E的面积是【 】（A）13 （B）26 （C）47 （D）9410已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为 【 】（A） （B） （C） （D）11设一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边上的高为 h，斜边长为c，则以 c+h，a+b，h为边的三角形的形状是（ ）A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 12. ABC中，AB=15，AC=13。高A
9、D=12。则ABC的周长是（ ） A. 42 B. 32 C. 42或32 D. 37或3313、三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为. ( )A、6 B、4.5 C、2.4 D、8 14、下面几组数:7,8,9；12,9,15；m + n, m-n, 2mn（m，n 均为正整数,mn）；,.其中能组成直角三角形的三边长的是.( )A、 B、 C、 D、15三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是 ( )A、a:b:c=81617 B、a-b=c C、a=(b+c)(b-c) D、a:b:c =13512 16、三角形的三边长为,则这个三角形是( ) A、
10、等边三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形 17、已知一直角三角形的三边的平方和为，则斜边长为 ( )A、 B、 C、 D、18、在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是 ( )A、 B、 C、 D、 19、在中，BC边上的高，则的周长为 ( )A、42 B、32 C、42或32 D、37或3320、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是 ( ) A、5 B、25 C、D、5或21、已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是 ( )A、24cm B、36cm C、48cm D、60cm22、直角三
11、角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )A、121 B、120 C、90 D、不能确定23、在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是 ( )A、a=9 b=41 c=40 B、a=b=5 C=5C、a:b:c=3:4:5 D、a=11 b=12 c=15 24、下列说法正确的有 ( ) ABC是直角三角形，C=90，则a+b=c.ABC中，a+bc，则ABC不是直角三角形.ABC中，a-b=c，则ABC是直角三角形.ABC是直角三角形，则(a+b)(a-b)=c.A、4个 B、3个 C、2个 D、1个25、已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=
12、10cm，则RtABC的面积是( ) A、24cm B、36cm C、48cm D、60cm26、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ( )图2A、13 B、19 C、25 D、169图3图127、如图2，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且ABC=90，则四边形ABCD的面积是 ( )A、84 B、30 C、36 D、无法确定28、如图3，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，B C交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为 ( )A、3 B、4 C、5 D、629Rt一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt的周长为（
