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1、 平行线的性质与判定的证明 练习题 温故而知新可以为师以： 重点1.平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补. 2.平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行互补. 例1 已知如图2-2，ABCDEF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分MNP（1）若AMN=60，EPN=80，分别求MNP，DNQ的度数； （2）探求DNQ与AMN，EPN的数量关系 解析：根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解. （标注MND=AMN，DNP=EPN） 答案：（
2、标注MND=AMN=60， DNP=EPN=80） 解：（1）ABCDEF， MND=AMN=60， DNP=EPN=80， MNP=MND+DNP=60+80=140， 又NQ平分MNP， MNQ=MNP=140=70， DNQ=MNQ-MND=70-60=10， MNP，DNQ的度数分别为140，10.(下一步) （2）（标注MND=AMN，DNP=EPN） 由（1）得MNP=MND+DNP=AMN+EPN， MNQ=MNP=（AMN+EPN）， DNQ=MNQ-MND =（AMN+EPN）-AMN =（EPN-AMN）， 即2DNQ=EPN-AMN. 小结： 在我们完成涉及平行线性质的相
3、关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补. 例2 如图，AGDACB,CDAB,EFAB,证明：12. 解析： （标注：12=DCB，DGBC，CDEF） 答案：（标注：12=DCB） 证明：因为AGD=ACB， 所以DGBC， 所以1DCB， 又因为CDAB,EFAB， 所以CDEF， 所以2DCB， 所以1=2. 小结： 在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系. 例3 （1）已知：如图2-4，直线ABED，求证：ABC+CDE=BCD； （2）当点C位于如图2-4所示时，ABC，
4、CDE与BCD存在什么等量关系？并证明 （1） 解析： 动画过点C作CFAB 由平行线性质找到角的关系.(标注1=ABC，2=CDE) 答案：证明：如图，过点C作CFAB， 直线ABED， ABCFDE， 1=ABC，2=CDE. BCD=1+2， ABC+CDE=BCD； （2） 解析：动画过点C作CFAB, 由平行线性质找到角的关系. （标注ABC+1=180，2+CDE=180） 答案：ABC+BCD+CDE=360 证明：如图，过点C作CFAB， 直线ABED， ABCFDE， ABC+1=180，2+CDE=180. BCD=1+2， ABC+BCD+CDE=360 小结： 在运用平
5、行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化. 例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角A是120，第二次拐的角B是150，第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么C应为多少度？ 解析： 动画过点B作BDAE， 答案： 解：过点B作BDAE，AECF， AEBDCF，A=1，2C=180 A=120，1+2=ABC=150， 2=30， C=180-30=150 小结： 把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答. 举一反三： 1.如图2-9，FGHI,则x的度数为（ ） A.60 B. 72 C. 90
6、D. 100 解析：AEG=180-120=60,由外凸角和等于内凹角和有60+30+30x+48，解得x=72. 答案:B. 2. 已知如图所示，ABEFCD，EG平分BEF，B+BED+D=192，B-D=24，求GEF的度数. 解析： 解:ABEFCD, B=BEF,DEF=D. B+BED+D=192, 即B+BEF+DEF+D=192, 2(B+D)=192, 即B+D=96. B-D=24, B=60, 即BEF=60. EG平分BEF, GEF=BEF=30. 3.已知：如图2-10，ABEF，BCED，AB，DE交于点G 求证：B=E 解析：标注ABEF，BCED 答案：证明：
7、ABEF， E=AGD. BCED， B=AGD， B=E. 例5如图2-6，已知ABCD，试再添上一个条件，使1=2成立，并说明理由 解析：标注 ABCD，1=2 答案：方法一：（标注CFBE） 解：需添加的条件为CFBE ， 理由：ABCD， DCB=ABC. CFBE， FCB=EBC， 1=2； 方法二：（标注CF，BE，1=2=DCF=ABE）解：添加的条件为CF，BE分别为BCD，CBA的平分线 理由：ABCD， DCB=ABC. CF，BE分别为BCD，CBA的平分线， 1=2 小结： 解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因. 例6 如图1-7，
8、已知直线，且和、分别交于A、两点，点P在AB上，和、分别交于C、D两点，连接PC、PD。 （1） 试求出1、2、3之间的关系，并说明理由。 （2） 如果点P在A、B两点之间运动时，问1、2、3之间的关系是否发生变化。 （3） 如果点P在AB两点的外侧运动时，试探究1、2、3之间的关系（点P和A、B不重合） 解：（1）解析：在题目中直接画出辅助线 3=1+2。理由：如图（1）所示 过点P作PE交于E，则1=CPE， 又因为，所以PE，则EPD=2， 所以CPD=1+2，即3=1+2 （2）解析: 点P在A、B两点之间运动时，3=1+2的关系不会发生改变。 （3）解析：如图（2）和（3）所以，当P
9、点在A、B两点外侧运动时，分两种情况： 4.如图2-11，CD平分ACB，DEAC，EFCD，EF平分DEB吗？请说明理由 解析：标注CD平分ACB，DEAC，EFCD 答案：标注CDE=ACD=DCE=DEF=BEF 解：EF平分DEB理由如下： DEAC，EFCD， CDE=ACD，CDE=DEF， BEF=DCE. CD平分ACB， DCE=ACD， DEF=BEF， 即EF平分DEB 5.如图1-12，CDEF, 1+2=ABC, 求证：ABGF 解析：如图，作CKFG,延长GF、CD交于H，则H+2+KCB=180.因为CDEF，所以H=1,又因为1+2ABC，所以ABC+KCB=180，所以CKAB,所以ABFG. 6.如图2-13，已知ABCD，ECD=125，BEC=20，求ABE的度数 解析：（过E点作EFCD）标注ABEFCD 答案：解：过E点作EFCD， ECD+CEF=180， 而ECD=125， CEF=180-125=55， BEF=BEC+CEF=20+55=75. ABCD，ABEF， ABE=BEF=75 10
