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1、中山一中，朱欢收集整理，欢迎交流 2011年2017年新课标全国卷理科数学试题分类汇编 7函数与导数 一、填空题 （201711）若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D.1 （201612）已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 （ ） A0 Bm C2m D4m （20155）设函数，则（ ） A3 B6 C9 D12 （201510）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为 （ ） A B C D （201512）设函数是奇函数的
2、导函数，当x0时，则使得f (x) 0成立的x的取值范围是（ ） A B C D （20148）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（ ） A0 B1 C2 D3 （201412）设函数，若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ） A B C D （20138）设，则（ ） A. B. C. D. （201310）已知函数，下列结论中错误的是（ ） A. B.函数的图像是中心对称图形 C.若是的极小值点，则在区间单调递减 D.若是的极值点，则 （201210）已知函数，则的图像大致为（ ） 1 y 1 y y y x y o y 1 y 1 y y y x
3、 y o y 1 y 1 y y y x y o y 1 y 1 y y y x y o y A. B. C. D. （201212）设点P在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. （20112）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A B C D （20119）由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为（ ） A B4 C D6 （201112）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A2 B4 C6 D8 二、填空题 （201415）已知偶函数f (x)在0, +)单调递减，f (2)=0. 若f (x-1)0，则x的取值范围是_. （2016
4、16）若直线y = kx+b是曲线y = lnx+2的切线，也是曲线y = ln(x+1)的切线，则b = . 三、解答题 （201721）已知函数且. （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且. （201621）（）讨论函数 的单调性，并证明当0时，； （）证明：当时，函数有最小值.设g (x)的最小值为，求函数的值域. 14（201521）设函数. （）证明：f (x)在（-，0）单调递减，在（0，+）单调递增； （）若对于任意x1,，x2-1，1，都有f (x1)- f (x2) e-1，求m的取值范围 15（201421）已知函数. （）讨论的单调性； （）设，当时，求的最大值
5、； （）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）. 16（201321）已知函数. （）设是的极值点，求，并讨论的单调性； （）当时，证明. 17.（201221）已知函数. （）求的解析式及单调区间； （）若，求的最大值. 18（201121）已知函数，曲线在点处的切线方程为. （）求a、b的值； （）如果当，且时，求k的取值范围. 2011年2017年新课标全国卷理科数学试题分类汇编 7函数与导数（解析版） （201711）A【解析】 导函数， ， ， 导函数，令， ， 当变化时，随变化情况如下表： + 0 - 0 + 极大值 极小值 从上表可知：极小值为.故选A （201612）B解
6、析：由得关于对称，而也关于对称，对于每一组对称点， ，故选B （201612）B解析：由得关于对称，而也关于对称，对于每一组对称点， ，故选B （20155）C解析：由已知得，又，所以，故 （201510）B解析：由已知得，当点P在BC边上运动时，即时，；当点P在CD边上运动时，即，时，当时，；当点P在AD边上运动时，即时，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B （201512）A解析：记函数，则，因为当x0时，xf (x)-f(x)0时，g (x)0，则f(x)0；当x0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(-, -1)(0, 1)，故选A （2014
7、8）D解析：，且在点处的切线的斜率为2，即. （201412）C解析：，令得， ，即，的极值为， ， ， 即：，故：或. （20138）D解析：根据公式变形， 因为lg 7lg 5lg 3，所以，即cba. 故选D. （201310）C解析：f (x)=3x2+2ax+b，yf (x)的图像大致如右图所示，若x0是f (x)的极小值点，则则在(，x0)上不单调，故C不正确 （201210）B解析：易知对恒成立，当且仅当时，取等号，故的值域是(-, 0). 所以其图像为B. （201212）B解析：因为与互为反函数，所以曲线与曲线关于直线y=x对称，故要求|PQ|的最小值转化为求与直线y=x平行
8、且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A，则A点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|PQ|的最小值. 则，即，故切点A的坐标为，因此，切点A点到直线y=x距离为，所以. （20112）B解析：由各函数的图像知，故选B. （20119）C】解析：用定积分求解，故选C. （201112）D解析：的对称中心是（1,0）也是的中心，他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点. 不妨把他们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则，故选D . 二、填空题 （201415） 解析：是偶函数，又在单调递减，解得： （201616）解析：的切线为：（设切点横坐标为）
9、，的切线为：，解得 ， 三、解答题 （201721）已知函数且. （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且. （201721）解析：(1)法一：由题知：，且 ， 所以， 即当时，；当时，；当时，成立. 令， 当时，递减，所以：，即：，所以； 当时，递增，所以：，即：. 所以，. 综上，. 法二：洛必达法则：由题知：，且 ，所以：. 即当时，；当时，； 当时，成立. 令，. 令，. 当时，,递增，； 所以，递减，所以：； 当时，,递减，； 所以，递减，所以：. 故. （2）由(1)知：，设，则. 当时，；当时，. 所以在递减，在递增. 又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1， 且当时，；当
10、时，； 当时，. 又，所以是的唯一极大值点. 由得，故. 由得. 因为是在的唯一极大值点，由，得 所以. （201621）（）讨论函数 的单调性，并证明当0时，； （）证明：当时，函数有最小值.设g (x)的最小值为，求函数的值域. （201621）证明：，当时，在上单调递增，时，. ，由(1)知，当时，的值域为，只有一解使得，当时，单调减；当时，单调增，记，在时，单调递增， （201521）设函数. （）证明：f (x)在（-，0）单调递减，在（0，+）单调递增； （）若对于任意x1,，x2-1，1，都有f (x1)- f (x2) e-1，求m的取值范围 （201521）解析：（），若，则
11、当时，；当时，. 若，则当时，；当时，所以，在单调递减，在单调递增. （）由（）知，对任意的，在-1，0单调递减，在0,1单调递增，故在处取得最小值，所以对于任意，的充要条件是，即. 设函数，则，当时，；当时，故在单调递减，在单调递增.又，故当时，.当时，即式成立；当时，由的单调性，即；当时，即，综上，的取值范围是-1,1. （201421）已知函数. （）讨论的单调性； （）设，当时，求的最大值； （）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）. （201421）解析：（） 当且仅当x=0时等号成立，所以函数在R上单调递增 （）当x0时， ， (1) 当时，当且仅当x=0时等号成立. 所以
12、此时g(x)在R上单调递增，而g(0)=0，所以对任意x0，有g(x)0. (2) 当时，若x满足时，即时，而g(0)=0，因此当时，g(x)0，有g(x)0，因此b的最大值为2. （）由()知， 当b=2时，； 当时， ，所以ln2的近似值为0.693. （201321）已知函数. （）设是的极值点，求，并讨论的单调性； （）当时，证明. （201321）解析：（）f (x). 由x0是f(x)的极值点得f (0)0，所以m1. 于是f (x)ex-ln(x+1)，定义域为(-1，+)，f (x).函数f (x)在(-1，+)单调递增，且f (0)0.因此当x(-1,0)时，f (x)0；当
13、x(0，)时，f (x)0.所以f (x)在(-1,0)单调递减，在(0，)单调递增 （）当m2，x(-m，+)时，ln(x+m)ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f(x)0.当m=2时，函数f (x)=在(-2，+)单调递增又f (-1)0，f (0)0，故f (x)=0在(-2，+)有唯一实根x0，且x0(-1,0)当x(-2，x0)时，f (x)0；当x(x0，+)时，f (x)0，从而当x=x0时，f (x)取得最小值由f (x0)=0得=，ln(x0+2)=-x0，故f (x) f (x0)=+x0=0. 综上，当m2时，f (x)0. （201221）已知函数. （）求的解析式
14、及单调区间； （）若，求的最大值. （201221）解析：（） ，令x=1得，f (x)=1，再由，令得. 所以的解析式为，易知是R上的增函数，且.所以，所以函数的增区间为，减区间为. （） 若恒成立，即 恒成立，. (1)当时，恒成立，为R上的增函数，且当时， ，不合题意； (2)当时，恒成立，则，； (3)当时，为增函数，由得，故，当时，取最小值. 依题意有，即，令，则， ，所以当时，取最大值. 故当时，取最大值. 综上，若，则 的最大值为. （201121）已知函数，曲线在点处的切线方程为. （）求a、b的值； （）如果当，且时，求k的取值范围. 解析：（）由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，. （）由（）知，所以.考虑函数，则. (i)设，由知，当时，. 而，故当时，可得；当x(1，+)时，h(x)0，且x1时，即. （ii）设00，故h(x)0，而h(1)=0，故当x(1，)时，h(x)0，可得 h(x)0，而h(1)=0，故当x(1，+)时，h(x)0，可得h(x)0，与题设矛盾. 综上可得，k的取值范围为（-，0.
