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1、Chapter1 线性规划 (Linear Programming),LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用,本章主要内容：,线性规划问题的数学模型,1. 规划问题,生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。,线性规划通常解决下列两类问题：,（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标,（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）,线性规划问题的数学模型,例1
2、.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？,线性规划问题的数学模型,例1.2 某厂生产两种产品，下表给出了单位产品所需资源及单位产品利润,问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？,解：,1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x2,2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2,3.约束条件：,x1=3.8, x2=1.2, z=22.8,线性规划问题的数学模型,例1.3 已知资料如下表所示，问如何安排生产才能使利润最大？或如何考虑利润大，产品好销。,解：,1.决策变量：设产品I、II的产量分别为 x1、x2,2.目标函数：设总利润为z，则有： ma
3、x z = 2 x1 + x2,3.约束条件：,线性规划问题的数学模型,例1.4 某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单位原料可提取的药物量,解：,要求：生产A种药物至少160单位；B种药物恰好200单位，C种药物不超过180单位，且使原料总成本最小。,1.决策变量：设四种原料的使用 量分别为：x1、x2 、x3 、x4,2.目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4,3.约束条件：,例1.5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：,问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成
4、本为最小？,线性规划问题的数学模型,解：,设：xj为第j号类型船队的队数（j = 1，2，3，4）， z 为总货运成本,则： min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4,线性规划问题的数学模型,线性规划问题的数学模型,2. 线性规划的数学模型由三个要素构成,决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints,其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。,怎样辨别一个模型是线性规划模型？,线性规划问
5、题的数学模型,3. 建模条件,(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值 （max 或 min）来表示；,(2) 限定条件（约束条件）：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的 线性等式或线性不等式表示；,(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找出最优方案。,线性规划问题的数学模型,4. 建模步骤,(1) 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；,(2) 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束；,(3) 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max 还是 min。,线性规划问题的数学模型
6、,目标函数：,约束条件：,5. 线性规划数学模型的一般形式,简写为：,线性规划问题的数学模型,向量形式：,其中：,线性规划问题的数学模型,矩阵形式：,其中：,线性规划问题的数学模型,6. 线性规划问题的标准形式,特点： (1) 目标函数求最大值（有时求最小值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。,线性规划问题的数学模型,（2）如何化标准形式,目标函数的转换,如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以 (-1)，可化为求极大值问题。,也就是：令 ，可得到上式。,即,若存在取值无约束的变量 ，可令 其中：,变量的变换,线性规划问题的数学模型,约束
7、方程的转换：由不等式转换为等式。,称为松弛变量,称为剩余变量,常量 bi0 的变换:约束方程两边乘以（1）,线性规划问题的数学模型,例1.6 将下列线性规划问题化为标准形式,用 替换 ，且,解:（）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以,线性规划问题的数学模型,(2) 第一个约束条件是“”号，在“”左端加入松驰变量x4，x40,化为等式； (3) 第二个约束条件是“”号，在“”左端减去剩余变量x5，x50； (4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到max
8、 z=-z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然;,线性规划问题的数学模型,标准形式如下：,例1.7 将下列线性规划问题化为标准形式,为无约束（无非负限制）,线性规划问题的数学模型,解: 用 替换 ，且 ，,将第3个约束方程两边乘以（1）,将极小值问题反号，变为求极大值,标准形式如下：,引入变量,线性规划问题的数学模型,例1.8 将线性规划问题化为标准型,解：,线性规划问题的数学模型,例1.9 将线性规划问题化为标准型,解：,Min f= -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 28 4 x1 + 2 x2 + 3
9、 x3 - 9 x4 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 - 58 x1 , x3 , x4 0； x2无约束,Max z = 3x15x2+5x2”8x3 +7x4 s.t. 2x13x2+3x2”+5x3+6x4+x5= 28 4x1+2x2-2x2”+3x3-9x4-x6= 39 -6x2+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58 x1 ,x2,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 0,线性规划问题的数学模型,线性规划问题的数学模型,7. 线性规划问题的解,线性规划问题,求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。,
10、线性规划问题的数学模型,可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 基：设A为约束条件的mn阶系数矩阵(mn)，其秩为m，B是矩阵A中m阶满秩子方阵（B0），称B是规划问题的一个基。设：,称 B中每个列向量Pj ( j = 1,2, , m) 为基向量。与基向量Pj 对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。,线性规划问题的数学模型,基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件方程解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非零值的个数不大于方程数m，基解的总数不超过 基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可
11、行解。 可行基：对应于基可行解的基称为可行基。,线性规划问题的数学模型,例1.10 求线性规划问题的所有基矩阵。,解: 约束方程的系数矩阵为25矩阵,r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即,图解法,线性规划问题的求解方法,一 般 有 两种方法,图 解 法 单纯形法,两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标,适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式,下面我们分析一下简单的情况 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观的优点，便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义。,解题步骤,4 将最优解代入目标函数，求出最优值。,1 在直角平面坐
12、标系中画出所有的约束等式，并找出所有约束条件的公共部分，称为可行域，可行域中的点即为可行解。,2 标出目标函数值增加或者减小的方向。,3 若求最大（小）值，则令目标函数等值线沿（逆）目标函数值增加的方向平行移动，找与可行域最后相交的点，该点就是最优解。,图解法,图解法,max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 3.8 X1 - 1.9X2 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 10.2 X1 - 1.9X2 -3.8 X1 ，X2 0,例1.11 用图解法求解线性规划问题,图解法,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1
13、- 1.9X2 = -3.8 (),X1 + 1.9X2 = 10.2(),4 = 2X1 + X2,20 = 2X1 + X2,17.2 = 2X1 + X2,Lo： 0 = 2X1 + X2,（7.6，2）,D,max Z,min Z,此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2,可行域,max Z = 2X1 + X2,图解法,max Z=3X1+5.7X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),（7.6，2）,D,L0： 0=3X1+5
14、.7X2,max Z,（3.8，4）,34.2 = 3X1+5.7X2,蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。,可行域,图解法,min Z=5X1+4X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),D,L0： 0=5X1+4X2,max Z,min Z,8=5X1+4X2,43=5X1+4X2,（0，2）,可行域,此点是唯一最优解,图解法,2,4,6,x1,x2,2,4,6,无界解(无最优解),max Z=x1+2x2,例1.6,x
15、1+x2=4(),x1+3x2=6(),3x1+x2=6(),max Z,min Z,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解(即无最优解),max Z=3x1+4x2,例1.7,由图解法得到的几种情况,根据以上例题，进一步分析讨论可知线性规划的可行域和最优解有以下几种可能的情况： 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解； (d)有无穷多个最优解； (e)目标函数无界(即虽有可行解，但在可行域中，目标函数可以无限增大或无限减少)，因而没有有限最优解。 3.可行域为空集 (f)没有可行解，原问题无最优解,图解法,由图解法得到的启示,线性规划问题解的情况： 唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解,(2) 线性规划问题的可行域是凸集（凸多边形）,图解法,图解法,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8 (),X1 + 1.9X2 = 10.2(),17.2 = 2X1 + X2,Lo： 0 = 2X1 + X2,（7.6，2）,D,m
