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1、切线长定理,淮阳一高 邱百灵,如图，纸上有一O ，PA为O的一条 切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A 重合的点为B。,1.OB是O的一条半径吗？,2.PB是O的切线吗？,3.PA、PB有何关系？,4.APO和BPO有何关系？,数学探究,问题：,经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长。,数学探究,O,切线长和切线的区别和联系: 切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。,已知：,求证：,如图，P为 O外一点，PA、PB为 O的切线，A、B为切点，连结PO,切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
2、。,O,一、判断 （1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ） （2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。,练习,(1)如图PA、PB切圆于A、B两点， 连结PO，则 度。,P,B,O,A,二、填空,25,（3）如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到O的切线长为8CM，则 PDE的周长为（ ）,A,A 16cm,D 8cm,C 12cm,B 14cm,D,C,B,E,A,P,例2、如图，过半径为6cm的O外一点P作圆的切线PA、PB，连结PO交O于F，过F作O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO10cm， 求PED的周长。,数学探究,思考：连结A
3、B，则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？,你还能得出什么结论？,E,已知：如图PA、PB是 O的两条切线，A、B为切点。直线OP交 O于D、E，交AB于C。,（2）图中的直角三角形有 个，分别是,3,6,2,3,60,（5）如果PA=4cm，PD=2cm，试求半径OA的长。,x,即：,解得： x=,3cm,半径OA的长为3cm,例1、如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，OAB30 （1）求APB的度数； （2）当OA3时，求AP的长,随堂训练,(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。,(1)若OA=3cm, APB=60，则PA=_.,如图，AC为O的直径，PA、PB分别切O于点
4、A、B，OP交O于点M，连结BC。,试一试：已知：如图，P为O外一点，PA，PB为O的切线，A和B是切点，BC是直径。C50， 求APB的度数 求证：ACOP。,试一试：如图1，一个圆球放置在V形架中。图2是它的平面示意图，CA和CB都是O的切线，切点分别是A、B。如果O的半径为 cm，且AB=6cm，求ACB。,思考：当切点F在弧AB上运动时，问PED的周长、DOE的度数是否发生变化，请说明理由。,（2）如图， ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm, AC= AB=,11,6cm,9cm,B,D,A,C,F,E,2,
5、7,4,例3、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与O相切于P、Q、M、N， 求证：AB+CD=AD+BC。,思考,如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?,I,D,三角形的内切圆：,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内心：,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。,数学探究,A,B,D,L,M,N,P,O,结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。,已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边的关系。,
6、C,（1）找出图中所有相等的线段,（2）填空：AB+CD AD+BC（,=),=,DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM,比较圆的内接四边形的性质：,圆的内接四边形：角的关系,圆的外切四边形：边的关系,练习四 已知：ABC是O外切三角形，切点为D，E，F。若BC14 cm ，AC9cm，AB13cm。求AF，BD，CE。 ,A,B,C,D,E,F,x,x,y,y,z,z,解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm,依题意得方程组,已知:如图,O是RtABC的内切圆,C是直角,三边长分别是a,b,c. 求O的半径r.,（1）
7、Rt的三边长与其内切圆半径间的关系,13,探究三,求直角三角形内切圆的半径,探究三,求一般三角形内切圆的半径,(2)已知:如图,ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c. 求内切圆O的半径r.,14,小练习,1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为,2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为,3. 已知:ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆O的半径r.,例：如图， ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。,x,13x,x,13x,9x,9x,例题选讲,1、如图，ABC中, ABC=
8、50，ACB=75 ,点O 是ABC的内心，求 BOC的度数。,随堂训练,变式：ABC中, A=40，点O是ABC的内心，求 BOC的度数。, BOC= 90+ A,2、ABC的内切圆半径为 r , ABC的周长为 l ,求ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）,O,A,C,B,r,r,r,知识拓展,若ABC的内切圆半径为 r , 周长为 l , 则SABC= lr,切线长定理 拓展,回顾反思,1.切线长定理,从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,回顾反思,2.三角形的内切圆、内心、内心的性质,知识拓展,拓展一：直角三角形的
9、外接圆与内切圆,1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在_，半径为_.,2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_，半径r=_.,a,b,c,斜边中点,斜边的一半,三角形内部,知识拓展,3.已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为O上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，P=70,求：PEF的周长和EOF的大小。,知识拓展,4.RtABC中,C=90,a=3,b=4,则内切圆的半径是_.,1,5.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.,22cm,知识小结,直角三角形的外接圆与内切圆,1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在_
10、，半径为_.,2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_，半径r=_.,a,b,c,斜边中点,斜边的一半,三角形内部,课前训练,1、已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.,知识拓展,2.已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。求证：AC=BD,试一试：如图ABC中，C90，AC6，BC8，三角形三边与O均相切，切点分别是D、E、F，求O的半径。,切线长定理：,从圆外一点
11、可以引圆的两条切线，它们的切线长相等。这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。,从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长。,切线长：,知识回顾,1、如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为( ) （A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56,巩固练习：,2、已知：在ABC中，BC14cm，AC9cm，AB13cm，BC，AC，AB分别与O切于点D、E、F，求AF，BD和CE的长。,3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周长是否会因K点的变动而变化？为什么？,4、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，以AB为直径的O与DC相切于E已知AB=8，边BC比AD大6， 求边AD、BC的长。,
