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1、第 1 页 共 16 页新课标高三数学第一轮复习单元讲座（讲座 38）导数、定积分一课标要求：1导数及其应用（1）导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算 能根据导数定义求函数 y=c，y=x，y=x 2，y=x 3，y=1/x，y=x 的导数； 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 f（ax+b） ）的导数； 会使用导数公式表。（3）导数在研究函数中的应用 结
2、合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（5）定积分与微积分基本定理 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等） ，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念
3、； 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系） ，直观了解微积分基本定理的含义。（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中数学文化 的要求。二命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计 2007 年高考继续以上
4、面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）07 年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积第 2 页 共 16 页分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而 07 年的高考预测会在这方面考察，预测 07 年高考呈现以下几个特点：（1）新课标第 1 年考察，难度不会很大，注意基本概念、基本
5、性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。三要点精讲1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 处有增量 ，那么函数 y 相应地有增量 =f（x +0xy0）f （x ） ，比值 叫做函数 y=f（x）在 x 到 x + 之间的平均变化率，即0y0= 。yxf)(0如果当 时， 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处可导，并把这y 0个极限叫做 f（x）在点 x 处的导数，记作 f（x ）或 y|
6、 。000x即 f（x ）= = 。00limxy0lixff)(说明：（1）函数 f（x）在点 x 处可导，是指 时， 有极限。如果 不存在00xxyxy极限，就说函数在点 x 处不可导，或说无导数。（2） 是自变量 x 在 x 处的改变量， 时，而 是函数值的改变量，可0y以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 处的导数的步骤（可由学生来归纳）：0（1）求函数的增量 =f（x + ）f （x ） ；y00（2）求平均变化率 = ；f)(第 3 页 共 16 页（3）取极限，得导数 f(x )= 。0xylim2导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x 处的导数的几何意义是曲
7、线 y=f（x）在点 p（x ，f（x ） ）0 0处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x ，f （x ） ）处的切线的斜率0是 f（x ） 。相应地，切线方程为 yy =f/（x ） （xx ） 。0 03常见函数的导出公式（） （C 为常数） （）)( 1)(nnx（） （）xcossin sico4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和 (或差)，即： ( .vu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)(uvv若 C 为常数,则 .即常数与函数的
8、积的导数等于 0)( CuC常数乘以函数的导数： .法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： = （v 0） 。vu2形如 y=f 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 求导回x()代。法则：y| = y| u|XUX5导数的应用（1）一般地，设函数 在某个区间可导，如果 ，则 为增函)(xff)(x0)(xf数；如果 ，则 为减函数；如果在某区间内恒有 ，则 为f0)(x 第 4 页 共 16 页常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线
9、的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间a，b上连续的函数 f 在a，b上必有最大值与最小值。)(x求函数 在(a，b)内的极值； 求函数 在区间端点的值 (a)、(b) ； 将函数)(x 的各极值与 (a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定积分（1）概念设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax 00, f(x)在(,1), (1,+) 为增函数.；()当 a2 时, 0f(0)=1；第 10 页 共 16 页()当 a2 时, 取 x0= (0,1),则由() 知 f(x0)1 且 eax 1，1+x1 x得：f(x)= eax 1. 综上当且仅当 a(,2
10、 时 ,对任意 x(0,1)恒有 f(x)1+x1 x 1+x1 x1。点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例 8 （1） （06 浙江卷） 在区间 上的最大值是（ ）32()fx1,(A)2 (B)0 (C)2 (D)4（2） （06山东卷）设函数f(x)= （）求f(x)的单调32(),.axa其 中区间；（）讨论f(x)的极值。解析：（1） ，令 可得 x0 或 2（2 舍去） ，2()36()fxx()f当1x0 时， 0，当 0x1 时， 0，所以当 x0 时，f（x）取得最大值f为 2。选 C；（2）由已知得 ，令 ，解得 。()6()
11、fa()f12,1a（）当 时， ， 在 上单调递增；1a 2xfx,当 时， ， 随 的变化情况如下表：()1f()fxx,00 ,1a1a(,)()f+ 0 0xA极大值 A极小值 A从上表可知，函数 在 上单调递增；在 上单调递减；在()fx,)(,1)a上单调递增。(1,)a第 11 页 共 16 页（）由（）知，当 时，函数 没有极值；当 时，函数 在1a()fx1a()fx处取得极大值，在 处取得极小值 。0xx31)点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型 5：导数综合题例 9 （06 广东卷）设函数 分别在 处取得
12、极小值、极大值.3()2fxx12x、平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足xoyAB、 1（ ,） 2()f（ ,） P,点 是点 关于直线 的对称点.求4PQP(4)yx(I)求点 的坐标；、(II)求动点 的轨迹方程.解析： () 令 解得 ；03)23()2 xxf 1x或当 时, ， 当 时, ，当 时， 。1x01)(f 0)(f所以,函数在 处取得极小值,在 取得极大值,故 ,x,21x。4)(0)(ff所以, 点 A、B 的坐标为 。)4,1(0,B（） 设 ， ，),(nmp)(yxQ，4,12 nmnP，所以 。2Qk21x又 PQ 的中点在 上，所以 ，消去 得
13、)4(y 42xynm,。9282x点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。第 12 页 共 16 页例 10 （06 湖南卷）已知函数 ,数列 满足:()sinfxna证明:() ；() 。10,(),123,.naf 10316na证明: （I） 先用数学归纳法证明 ，1,2,3,na(i).当 n=1 时,由已知显然结论成立。(ii).假设当 n=k 时结论成立,即 。01k因为 00 成立。01x于是 故 。31()0sin6n naa即 36nna点评：该题是数列知识和导数结合到一块。题型 6：导数实际应用题例 11 （06 江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六
14、棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体积最1o大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值第 13 页 共 16 页的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设 OO1为 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m） 。2223()8x于是底面正六边形的面积为（单位：m 2）：。22 233(1)6()(8)4xxA帐篷的体积为（单位：m 3）：2 31()(8)()(162)2Vxxx求导数，得 ；23()()令 解得 x=-2(不合题意，舍去),x=2。0Vx当 10。42229)(k
15、btkvFzu当 x=0 时，t=0；当 x=a 时， ，31)(a又 ds=vdt，故阻力所作的功为： 3277130320302 )(111 baktkbdtbkdtvtkvdsWtttzuz （2）依题设可知抛物线为凸形，它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0，x 2=b/a，所以 (1)320261)(badxaSb又直线 xy=4 与抛物线 y=ax2bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组 bxy24得 ax2(b 1)x4=0 ，其判别式必须为 0，即(b1) 216a=0第 16 页 共 16 页于是 代入（1）式得：,)(62ba， ；0,)(8)43S 52)1(38)(bS令 S(b)=0；在 b0 时得唯一驻点 b=3，且当
