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1、二次函数的知识点归纳总结范文 篇一：二次函数知识点概括总结 二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分二次函数基础知识 ?相关概念及定义 b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。这?二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a， c可以为零二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b， 数 ?二次函数y?ax2?bx?c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项a， ?二次函数各种形式之间的变换 ?二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h?k
2、的形式，其中 2 b4ac?b2 h?，k?. 2a4a ?二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y?ax2；y?ax2?k；y?a?x?h?； 2 y?a?x?h?k；y?ax2?bx?c. 2 ?二次函数解析式的表示方法 ?一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； ?顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）； ?两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. ?注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解
3、析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.?抛物线y?ax2?bx?c的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ? a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下； b .特别地，y轴记作直线x?0.2a a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ?对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x? b4ac?b2 （?）?顶点坐标坐标： 2a4a ?顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口 大小完全相同，只是顶点的位置不同.?抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c与函数图像的关系?二次项系数a 二次函数y?ax2?b
4、x?c中，a作为二次项系数，显然a?0 当a?0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a?0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 ?一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴在a?0的前提下， b 当b?0时，?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab 当b?0时，?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a b ?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧2a 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 b 当b?0时，?0，即抛物线的对称轴在y轴右
5、侧； 2ab 当b?0时，?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab 当b?0时，?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧 2a 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置总结： ?常数项c 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的总之，只要a， ?求抛物线的顶点、对称轴的方法 当b?0时，? b4ac?b2b?4ac?b2? （?
6、）?公式法：y?ax?bx?c?a?x?，顶点是，对称轴是直线? 2a4a2a?4a? bx?. 2a 2 ?配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h?k的形式，得到顶点为(h,k)，对 称轴是直线x?h. 2 2 ?运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是 抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.?用待定系数法求二次函数的解析式 ?一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.?顶点式：y?a?x?h?k.已知图像的顶点或对称
7、轴，通常选择顶点式. 2 2 ?交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1?x?x2?.?直线与抛物线的交点 ? y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0,c). 2 22 ?与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c). ?抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点?0?抛物线与x轴相交； 有一个交点（顶点在x轴上）?0?抛物线与x轴相切；没有
8、交点?0?抛物线与x轴相离. ?平行于x轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标 是ax?bx?c?k的两个实数根. 2 一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点， 2 2 ?由方程组? ?y?kx?n?y?ax?bx?c 2 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; 方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；方程组无解时?l与G没有交点. ?抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1，0?，B?x2，0?，由于
9、 x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故 bc x1?x2?,x1?x2? aa AB?x1?x2? x1?x22 ? x1?x22 b2?4ac?b?4c ?4x1x2? aaaa? 2 ?二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 ?关于x轴对称 y?a2x?bx?关于cx轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c； y?a?x?h?k关于x轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h?k；?关于y轴对称 y?a2x?bx?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c； 22 y?a?x?h?k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h?
10、k；?关于原点对称y?a2x?bx?关于原点对称后，得到的解析式是cy?ax2?bx?c；y?a?x?h?关于原点对称后，得到的解析式是ky?a?x?h?k； ?关于顶点对称 2 2 22 b2y?ax?bx?关于顶点对称后，得到的解析式是cy?ax?bx?c?； 2a 22 y?a?x?h?k关于顶点对称后，得到的解析式是y?a?x?h?k 2 2 ?关于点?m，n?对称 n?对称后，得到的解析式是y?a?x?h?2m?2n?ky?a?x?h?k关于点?m， 2 2 ?总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不 变求抛物线的对称抛物线的表达式时，
11、可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是 先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 ?二次函数图象的平移 ?平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” ?根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。?三点式。 1，已知抛物线y=ax+bx+c经过A（，0），B（2，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=a(x-1)+4，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。?顶点式。 22 1，已知抛物线y=x-2ax+a+b顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。 2 2，已知抛物线y=4(x+a)-2a的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。?交点式。 1，已知抛物线与x轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2 2，已知抛物线线与x轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=?定点式。 1，在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线y? 1 a(x-2a)(x-b)的解析式。2 125?ax?
