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1、15.4特殊的平行四边形的性质与判定,平行四边形的性质：,平行四边形的对边平行；,平行四边形的对边相等；,平行四边形的对角相等；,平行四边形的邻角互补；,平行四边形的对角线互相平分；,回顾：平行四边形,平行四边形的判定：,两组对边分别相等的四边形；,对角线互相平分的四边形；,一组对边平行且相等的四边形；,平行四边形的判定定理：,一个角是 直角,两组对边 分别平行,矩形,情景创设,我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，也就是这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形,矩形,四边形,有一个角是直角
2、的平行四边形是矩形,矩形的定义：,矩形是特殊的平行四边形,具备平行四边形所有的性质,对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分,矩形的性质：,探索新知: 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？,A,B,C,D,引入性质1,已知：如图，四边形ABCD是矩形,求证：A=B=C=D=90,证明： 四边形ABCD是矩形, A=90,又 矩形ABCD是平行四边形, A=C B = D A +B = 180, A=B=C=D=90 即矩形的四个角都是直角.,已知：如图，四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD,证明：在矩形ABCD中,ABC = DCB = 90,
3、又AB = DC ， BC = CB,ABCDCB,AC = BD 即矩形的对角线相等,引入性质2,矩形特殊的性质,矩形的四个角都是直角,矩形的两条对角线相等,从角上看：,从对角线上看：,例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，AOD=120，AB=2.5，求矩形对角线的长.,例题解析,AC=BD（矩形的对角线相等）， AO=OC= AC，BO=OD= BD （矩形的对角线互相平分）. OA=OD.,AOD=120，,ODA=OAD= (180-120)=30.,又DAB=90（矩形的四个角都是直角），, BD=2AB=22.5=5.,解： 四边形ABCD是矩形，,例题解析,观察并
4、思考,下面这些物体是什么形状？,在矩形ABCD中 AO=CO=BO=DO= AC= BD,O,D,C,B,A,在RtABD中，AO是斜边BD的中线,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,则有：AO= BD,问题：矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.(1)图中有哪些相等的线段？(2)图中有哪些特殊形状的三角形？,已知：如图BE、CF是ABC的两条高，M为BC的中点，分别连ME、MF 求证： (1)ME= BC (2)ME=MF,C,M,A,B,F,E,操练场,对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分,菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质,菱形,菱形的性质定理1：,菱形的四
5、条边都相等.,已知：菱形ABCD 求证：AB=BC=CD=AD,证明： ABCD是菱形 AB=BC， 又 AB=CD，AD=BC AB=BC=CD=AD,下图，已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，,求证：ACBD ； AC平分BAD和BCD ； BD平分ABC和ADC,菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角,菱形的性质定理2：,证：ABCD是菱形； AB=AD； 又ABCD是平行四边形； 对角线AC平分BAD和BCD ； 对角线BD平分ABC和ADC； AO为ABD的中线； ACBD ,例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD=2
6、.求AB和AC的长,例题解析,解：四边形ABCD是菱形， AB=AD（菱形的四条边都相等）, ACBD（菱形的对角线互相垂直） OB=OD= （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中， BAD=60， ABD是等边三角形 AB=BD=2.,例题解析,在RtAOB中，由勾股定理，得,例题解析,例题解析,例3 如图，在平面直角坐标中，四边形ABCD是菱形，ABC=60，点A坐标为（0，2）.求B，C，D各点的坐标.,解：四边形ABCD为菱形， OC=OA=2. 点C的坐标为(0，-2). 又ABC=60， AB=BC=AC=4. OD=OB 点B的坐标为（ ），点D的坐标为（ ）.,正方形
7、的定义：,正方形即是特殊的矩形 又是特殊的菱形.,正方形具有矩形性质的同时也具有菱形形性质.,讨论,正方形的边、角、对角线各具有什么性质？,边：对边平行，4条边都相等,角：4个角都相等，都等于90,对角线：相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角,例题解析,例4 如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求AOB，OAB的度数. 解：正方形ABCD也是菱形， ACBD. AOB=90. 正方形既是矩形，又是菱形， BAD=90，且BAC=DAC. OAB=45.,总结,1.矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.菱形的四条边都相等；菱形
8、的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 3.正方形两组对边平行，四条边都相等；正方形的四个角都是直角；正方形的对角线相等，互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角.,第二课时：特殊的平行四边形的判定,矩形的定义：,有一个角是直角的平行四边形是矩形.,你还有其它的判定方法吗？, ABCD,A=900,四边形ABCD是矩形,如何判断一个矩形？,情境一：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？,猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 .,命题：对角线相等的平行四边形是矩形.,已知：
9、平行四边形ABCD，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形.,证明:, AB=CD， BC=BC， AC=BD,ABC DCB（SSS）,AB/CD ABC+DCB=180,ABC=DCB=90 四边形ABCD是平行四边形,四边形ABCD是矩形,ABC=DCB,情境二：李芳同学由“边直角、边直角、边直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？,猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 .,你能证明上述结论吗？,矩形的判定方法：,有三个角是直角的四边形是矩形 ., A=B=C=90 四边形ABCD是矩形,几何语言：,例5 如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于
10、点O，ABO是等边三角形，AB=1，求ABCD的面积,例题解析,解：四边形ABCD是平行四边形， OA=OC，OB=OD. 又ABO是等边三角形， OA=OB=AB=1，BAC=60. OA=OB=OC=OD=1. AC=BD=2AB=21=2；AD= ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. 矩形ABCD的面积是,例题解析,菱形的判定方法：,一组邻边相等的平行四边形是菱形；,AB=BC ABCD,四边形ABCD是菱形,菱形的判定定理：,对角线互相垂直的平行四边形是菱形；,ACBD ABCD,四边形ABCD是菱形,情境三：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，A
11、B为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？,四边都相等的四边形是菱形 .,例6 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的 垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F四边形AFCE是菱形吗，为什么？,例题解析,证明 四边形ABCD是矩形， AE/CF（矩形的定义）， 12. 又 AOECOF，AOCO， AOE COF， EOFO 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. 又 EF AC， 四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.,例题解析,思考,E,F,把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABC
12、D的形状吗？,交流,从正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系可以看出，要判断一个四边形是正方形有以下几种思路： （1）先判断四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； （2）先判断四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； （3）先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等； （4）判定一个四边形的对角线相等，并且互相垂直平分.,具备什么条件的平行四边形是正方形？,先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等,先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角,思考,例题解析,例7 如图，在平面直角坐标系中，顺次连接点A(-2，0)，B(0，-2)，C(2，0)，D(0，2)所得到的四边形ABCD是怎样的四边形？并说明理由.,解：四边形ABCD是正方形. 理由如下： A(-2，0),B(0，-2),C(2，0),D(0，2), OA=OB=OC=OD=2 四边形ABCD是平行四边形. 又AC=BD,且ACBD， 四边形ABCD是正方形.,总结,矩形的判定： （1）对角线相等的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形. 菱形的判定： （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （4）四边都相等的四边形是菱形 .,思考一下正方形的判定定理？,
