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1、第2章 圆锥曲线与方程-2.2.1 导学案 (1)教学过程一、 问题情境汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆，把一个圆压扁了，也像椭圆，它们究竟是不是椭圆呢？是否是椭圆应该看其是否符合椭圆的基本特征(性质)，那么又该如何研究椭圆的性质呢？回忆解析几何研究问题的基本方法，研究椭圆，先建立椭圆的方程.二、 数学建构回顾椭圆的概念:一般地，平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.特别地:当MF1+MF2=F1F2时，动点M的轨迹是线段F1F2；当MF1+MF22c).以F1F2所在直线为x轴，
2、线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy(如图1)，则F1，F2的坐标分别为(-c，0)，(c，0).(图1)设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a，即+=2a.2将这个方程移项后两边平方，得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2，即a2-cx=a.两边再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).因为a2-c20，所以可设a2-c2=b2(b0)，于是得b2x2+a2y2=a2b2，两边同时除以a2b2，得+=1(ab0).由上述过程可知，椭圆上的
3、点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，并且满足上面这个方程的点(x，y)都在已知的椭圆上.这样，上面这个方程就是所求椭圆的方程，它的焦点为F1(-c，0)，F2(c，0).(图2)问题1如果将椭圆的焦点建立在y轴上，即焦点为F1(0，-c)，F2(0，c)(如图2)，你能快速得出椭圆的方程吗？解法一两个椭圆关于直线y=x对称，故只需要将方程+=1(ab0)中的x，y互换即可得到方程+=1(ab0).解法二从定义出发，将+=2a变换为+=2a.可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).设a2-c2=b2(b0)，于是得a2x2+b2y2=a2b2，两边同时除以a2b2，得+=1
4、(ab0).所以，当焦点在y轴上时，我们可以得到焦点为F1(0，-c)，F2(0，c)的椭圆的方程为+=1(ab0).以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).问题2如何判断椭圆标准方程中焦点的位置？解看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大，焦点即在对应的坐标轴上.巩固练习求下列椭圆的焦点坐标:(1) +=1；(2) 16x2+7y2=112.规范板书解(1) c2=25-16=9，所以c=3，故焦点坐标为(-3，0)和(3，0).(2) 方程可化为+=1，所以c2=16-7=9，所以c=3，故焦点坐标为(0，-3)和(0，3).题后反思求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化
5、为标准形式.三、 数学运用【例1】已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围.(见学生用书P17)处理建议引导学生思考焦点在x轴上的椭圆的标准方程满足的条件.规范板书解因为椭圆焦点在x轴上，故所以7k10.题后反思学生可能会忽视前两个条件(不等式)，题目解答完毕注意总结此时应需要3个条件(不等式).变式若上述方程表示一个椭圆，求k的取值范围.处理建议让学生思考条件改变时，解题过程中哪个环节会发生变化.规范板书解由题意可得所以4k0，10-k0，k-4=10-k，则方程表示的曲线是什么？答:圆.3【例2】(根据教材第30页练习第2题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) a=4，
6、b=3，焦点在x轴上；(2) b=1，c=；(3) 两个焦点分别是F1(-2，0)，F2(2，0)，且过点P(2，-3).(见学生用书P18)处理建议引导学生首先分析焦点的位置，然后再找出标准方程中a，b的值.规范板书解(1) 因为焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为+=1.(2) 因为b=1，c=，所以a2=b2+c2=16，当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为+y2=1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为+x2=1.(3) 由题意知椭圆的焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为+=1(ab0)，所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.题后反思椭圆的标准方程中只有两个参量，因此只需要两个条件就
7、可以求出椭圆的标准方程，而a，b，c三个量之间的关系是知二求一.4【例3】(教材第29页例2)将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.(见学生用书P18)处理建议先让学生直观感受变换后的曲线形状，再探究如何解决问题.规范板书解设所得曲线上任一点的坐标为(x，y)，圆x2+y2=4上的对应点的坐标为(x，y)，由题意可得因为x2+y2=4，所以x2+4y2=4，即+y2=1.这就是变换后所得曲线的方程，它表示一个椭圆.题后反思学生很容易得到变换后的曲线是椭圆，但无法从定义给出证明，引导学生从方程的角度考虑问题，从而进一步说明解析几何研
8、究问题的方法是从方程的角度来研究的.本例求变换后所得曲线方程采用的方法是“坐标转移法”，即利用中间变量求曲线方程.*【例4】(教材第31页例1)已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程.处理建议引导学生先建立合适的直角坐标系，设出椭圆的标准方程，根据题意得到椭圆方程中的基本量.规范板书解以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy(如图).(例4)设这个椭圆的标准方程为+=1(ab0).根据题意知2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2，所以b2=a2-c2=1.52-1
9、.22=0.81.因此，这个椭圆的标准方程为+=1.题后反思本题是为了巩固对椭圆的标准方程的理解.在没有已知坐标系的情况下，需要建立合适的坐标系.四、 课堂练习1.求下列椭圆的焦点坐标:(1) +=1；(2) 3x2+4y2=12.解(1) 焦点坐标分别为(0，-3)和(0，3).(2) 焦点坐标分别为(-1，0)和(1，0).2. 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(4，5).提示因为椭圆的焦点在y轴上，所以解得4kb0)；焦点在y轴上:+=1(ab0).2. 注意椭圆的标准方程中“标准”的含义:椭圆的中心在坐标原点；椭圆的焦点在坐标轴上(两个焦点均在x轴上或均在y轴上)；椭圆的标准方程有两种形式，即焦点在x轴上的方程以及焦点在y轴上的方程.
