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1、动态几何问题专题学案动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学中的难点，只有完全掌握才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法， 第一部分 例题精讲【例 1】如图，在梯形 ABCD中， B ， 3AD， 5C， 10B，梯形的高为 4动点 M从 B点出发沿线段 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点 N同时从 C点出发沿线段 CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动设运动的时间为 t（秒
2、）（1）当 N 时，求 t的值；（2）试探究： t为何值时， MN 为等腰三角形【思路分析 1】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N 是在动，意味着 BM,MC 以及 DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定 MN/AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。解：【思路分析 2】 MNC 为等腰三角形，应该包含三种情况，即MN=CN MN=MC, M
3、C=CN。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解解：【例 2】在ABC 中，ACB=45点 D（与点 B、C 不重合）为射线 BC 上一动点，连接AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC如图，且点 D 在线段 BC 上运动试判断线段 CF 与 BD 之间的位置关系，并证明你的结论（2）如果 ABAC，如图，且点 D 在线段 BC 上运动（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P，设 AC 42
4、，BC，CD= x，求线段 CP 的长（用含 x的式子表示）【思路分析 1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。解：【思路分析 2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找 AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。【思路分析 3】这一问有点棘手，D 在 BC 之间运动和它在 BC 延长线上运动时的位置是不一样的，
5、所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4+X 还是 4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出 CP.【例 3】已知如图，在梯形 ABCD中， 24BADC ， ， ， 点 M是 AD的中点，MBC是等边三角形（1）求证：梯形 是等腰梯形；（2）动点 P、 Q分别在线段 和 M上运动，且 60PQ 保持不变设xy， ，求 与 x的函数关系式；（3）在（2）中，当 取最小值时，判断 的形状，并说明理由【思路分析 1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例 1 一样是双动点问
6、题，所以就需要研究在 P,Q 运动过程中什么东西是不变的。题目给定 MPQ=60，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.【思路分析 2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时 Y 有最小值。接下来就变成了“给定 PC=2，求PQC 形状”的问题了。由已知的 BC=4，自然看出 P 是中点，于是问题轻松求解。小结：以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动
7、中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接A DCB PMQ60下来我们看另外两道题.【例 4】已知正方形 ABCD中， E为对角线 BD上一点，过 E点作 FBD交 C于 F，连接 DF， G为 中点，连接 G， （1）直接写出线段 与 的数量关系；（2）将图 1 中 F绕 点逆时针旋转 45，如图 2 所示，取 中点 G，连接 E， ，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图 1 中 BE绕 点旋转任意角度，如
8、图 3 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）【思路分析 1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转 45到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF 旋转 45之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是 G 是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接 AG 之后，抛开其他条件，单看 G 点所在的四边形 ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过 G 点做 AD,EF
9、的垂线。于是两个全等的三角形出现了。【思路分析 2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果BEF 任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF 的旋转过程中，始终不变的依然是 G 点是 FD 的中点。可以延长一倍 EG 到 H，从而构造一个和 EFG 全等的三角形，利用 BE=EF 这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形 ECH 是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形 EBC 和三角形CGH 全等，利用角度变换关
10、系就可以得证了。【例 5】已知正方形 ABCD 的边长为 6cm，点 E 是射线 BC 上的一个动点，连接 AE 交射线DC 于点 F，将 ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 B 处（1）当 CEB=1 时，CF=_cm ，（2）当 =2 时，求 sinDAB 的值；（3）当 = x 时（点 C 与点 E 不重合），请写出 ABE 翻折后与正方形 ABCD 公共部分的面积 y 与 x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）【思路分析】 动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为 1，第二问比例为 2，第三问比例任意，
11、所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E 在 BC 上和 E 在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻 ,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程
12、中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决 ,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想
13、当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例 5 当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。第二部分 学以致用1图（1），射线 /AM射线 BN， A是它们的公垂线，点 D、 C分别在 AM、 BN上运动（点 D与点 不重合、点 C与点 不重合）， E是 B边上的动点（点 E与 、 不重合），在运动过程中始终保持 DE，且 aA（1）求证： ；（2）如图（2），当点 为 边的中点时，求证： ；（3）设 mAE，请探究： B的周长是否与 m值有关？若有关，请用含有 m的代数式表示 BC的周长；若无关，请说明理由2ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，
14、BP=BA，若 0PBC180 ，且PBC 平分线上的一点 D 满足 DB=DA，（1）当 BP 与 BA 重合时（如图 1），BPD= ；（2）当 BP 在ABC 的内部时（如图 2），求BPD 的度数；（3）当 BP 在ABC 的外部时，请你直接写出BPD 的度数，并画出相应的图形3如图：已知，四边形 ABCD 中，AD/BC， DCBC，已知 AB=5，BC=6，cosB=35点 O 为 BC 边上的一个动点，连结 OD，以 O 为圆心，BO 为半径的O 分别交边 AB 于点P，交线段 OD 于点 M，交射线 BC 于点 N，连结 MN（1）当 BO=AD 时，求 BP 的长；（2）点
15、O 运动的过程中，是否存在 BP=MN 的情况？若存在，请求出当 BO 为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；（3）在点 O 运动的过程中，以点 C 为圆心，CN 为半径作C，请直接写出当C 存在时，O 与C 的位置关系，以及相应的 C 半径 CN 的取值范围。4在 ABCD中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90得到线段 EF(如图 1)（1）在图 1 中画图探究：当 P 为射线 CD 上任意一点（P1 不与 C 重合）时，连结 EP1绕点 E 逆时针旋转 得到线段 EC1.判断直线 FC1 与直线 CD 的位置关系，并加以证明；当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转 90得到线段 EC2.判断直线 C1C2 与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论 .（2）若 AD=6,tanB=43,AE=1,在的条件下，设 CP1= x，S 1PFCA= y，求 与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围.AB CDOP MNAB CD（备用图）
