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1、平方差公式 教材分析平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且在设计的过程中尽量与生活中的实际问题相联系，设计一些活动增加知识的趣味性，这样可以培养学生对数学学习的兴趣，设计的习题也很有梯度，由浅入深，适应学生的需要。为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，在教学中具有很重要地位。 教学目标【知识与能力目标】1. 探索并理解平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性；2. 会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。【过程与方法目标】1.使学生经历
2、公式的猜想、证明过程，构建以数的眼光看式子的数学素养；2. 培养学生的数学符号感和推理能力；3. 培养学生的问题解决能力，为学生提供运用平方差公式来研究等周问题的探究空间。【情感态度价值观目标】在计算过程中发现规律,并能用符号表示,从而体会数学的简洁美。 教学重难点【教学重点】1.平方差公式的推导；2.平方差公式本质的理解与运用。【教学难点】平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性。 教学过程一、引入新课【师】同学们好。上次课我们学习了多项式的乘法法则，多项式乘以多项式有什么规律呢？（课件展示过程） 【生】多项式乘以多项式要一一握手，逐项相乘之后求和。【师】没错，可是，如果每一个多项式和
3、多项式相乘都要这么做的话，哪怕只是给出的最简单的就要一一握手四次，有没有哪些特殊的多项式乘法，可以简化运算呢？这就是我们今天要学习的内容。【板书】第十四章 整式的乘法和因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式二、新知介绍1 情景引入：阿凡提和巴依老爷换地【师】正课开始之前，我们先来看这样一个故事。大家听说过阿凡提吧？有一天，巴依老爷来找阿凡提（投影上播放故事情节，老师伴随口述，这里略）。那现在我们来看，巴依老爷一边加了五米，一边减了五米，看起来没有什么变化，为什么阿凡提不答应换地呢？大家如果把刚才的故事用数学语言抽象出来，会是什么样的问题呢？大家动脑想一想。课件展示图片【生】（思考交
4、流，给出答案）。假设原来阿凡提手里的土地是边长为a米的正方形，面积是a2平方米，现在一边加上五米，一边减去五米，变成了面积为(a+5)(a-5)的长方形土地。【师】没错，那土地的面积到底变没变，阿凡提如果换地，会吃亏吗，这个问题你们学了这堂课的知识，就能解答了。2 观察思考与概念介绍：平方差公式的探索和引入【师】下面请看投影，老师给大家下面三个多项式的乘法，大家按照上次课老师教给大家的多项式乘以多项式的法则，把结果算出来。(x+1)(x1)= 。(m+2)(m2)= 。(2m+1)(2m1)= 。【生】（计算并给出答案）。【师】那现在大家观察一下这三个等式，你们发现这三个等式有什么共同的特点吗
5、？【生】（分组讨论和交流）。这三个等式的左边都是两个多项式的成绩，右面是两个平方项的差。【师】那这两个多项式又有什么特点呢？【生】两个相同的项，相加的结果和相减的结果，之后乘积。【师】非常好。那这样的话，我们可以抽象出下面这个通式，它包括了刚才各位提出的式子的特点。请大家算一算：(a+b)(ab)等于多少。【生】得出答案：(a+b)(ab)= a2ab+abb2 = a2b2 【师】好了，大家现在得到了结论：(a+b)(ab)= a2b2。这就是我们今天要学习的核心平方差公式。（板书并介绍概念）【板书/PPT】平方差公式：(a+b)(ab)= a2b2两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差【
6、师】根据这个公式，只要大家以后碰到类似的多项式计算，对于具有和上面左侧相同结构的多项式相乘，可以直接写出来运算结果。3 边学边练：相关例题讲解和易错点简介（结合PPT，例题均为书上的）【师】趁热打铁，大家既然看到了这个公式，我们先来学习一下这个公式怎么用，先看这个，请计算：(3x+2)(3x2)。这里我们把3x看做是公式里面的a，2看做是公式里面的b，现在请大家套用乘法公式，给出答案。【生】（给出答案，原式=(3x)222=9x24。）【师】好了，下面我们来进一步剖析一下这个公式，大家请看，(a+b)(ab)= a2b2。这个公式的结果可以解读为：同号项的平方减去异号项的平方，这也是运用这个公
7、式时候注意的地方，不要对应错位置。请大家看这道题，(-x+2y)(-x-2y)，这里面的同号项是哪个，异号项是哪个呢？【生】x是同号项，2y是异号项。【师】没错。那下面大家写出来结果吧。【生】（给出答案，原式=(-x)2(2y)2= x24y2。）【PPT/板书】巧记：同号项的平方减去异号项的平方。【师】平方差公式需要灵活运用，下面老师给出来常见的两个平方差公式的变体，大家到了具体的题目中也要会辨别。几个常见的变体：乘法交换律：(ab)(a+b)= a2b2 加法交换律：(b+a)(b+a)= a2b2【师】那大家看一下老师在投影上给出的这几个式子，这几个式子可以用平方差公式计算吗？【生】（给
8、出答案）。【师】下面我们再来做两个题，看看大家有没有思路？（给出：(y+2)(y-2)(y-1)(y+5)，10298两个题目，强调以下两点：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按照乘法法则进行；公式里的字母完全可以是个数字，因此可以进行简算）【PPT/板书】注意事项：（1）只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按照乘法法则进行。（2）可以进行简便运算。（以上为黑板左侧内容，没有PPT教学设备的课堂可在右侧安排书写相应例题）4 补充讲解：数形结合的思想【师】我们回过头来，看看为什么阿凡提没有答应换地。你们这次能给出答案吗？【生】因为巴依老爷给他的地少了，原来是a2，现在只有a225了。【师】那根据刚才的启发，大家看下面这幅图，能直观地说明平方差公式吗？【生】通过平移，两个浅色部分的长方形形状是一样的。根据面积的等量关系，大正方形扣除小正方形之后剩下的面积，就等于边长分别为(a-b)和(a+b)的长方形。三、归纳总结：本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法 教学反思略
