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1、24力的合成与分解【导学目标】1理解合力和分力的概念，知道力的分解是力的合成的逆运算。2理解力的平行四边形定则，并会用来分析生产、生活中的有关问题。 （力的合成与分解的计算，只限于用作图法或直角三角形知识解决）【考点自清】一、力的合成规律1、合力与分力定义：当一个物体受到几个力的共同作用时,我们常常可以求出这样一个力，这个力产生的效果跟原来几个力的共同效果相同，这个力就叫做那几个力的合力，原来的几个力叫做分力.逻辑关系：合力和分力是一种等效替代关系.2、共点力：作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力.3、力的运算法则：平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的
2、线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，如图甲所示.三角形定则：把各个力依次首尾相接，则其合力就从第一个力的末端指向最后一个力的始端。高中阶段最常用的是此原则的简化，即三角形定则，如图乙所示.考点一、合力与分力的关系1 两个共点力的合力范围合力大小的取值范围为：F 1+F2 F |F1-F2|在共点力的两个力 F1 和 F2 大小一定的情况下，改变 F1 与 F2 方向之间的夹角 ，当 减小时，其合力 F 逐渐增大；当 =0o 时，合力最大 F= F1+ F2，方向与 F1 和 F2 的方向相同；当 角增大时，其合力逐渐减小；当 =180o 时，合力最小 F=|
3、F1- F2|，方向与较大的力的方向相同 2 .三个共点力的合力范围（1 ）最大值：当三个分力同向共线时，合力最大，即 Fmax= F1+ F2 + F3 .（2 ）最小值： 当任意两个分力之和大于第三个分力时，三个力的合力最小值为 0； 1当最大的一个分力大于另外两个分力的代数和时，三个力的合力最小值等 2于最大的一个力减去另外两个分力的代数和的绝对值 【例题 1】：力的大小分别为 3N、4N 、6N，它们的合力最大值为 ，它们的合力最小值为 。【变式训练 1】 四个共点力的大小分别为 3N、4N 、12N ，它们的合力最大值为 ，它们的合力最小值为 。考点二、应用平行四边形定则求合力的方法
4、1作图法用力的图示方法，用同一标度作出两个分力 F1 和 F2，再以 F1、F 2 为邻边作出平行四边形，从而得到 F1、F 2 之间的对角线，根据表示分力的标度去度量该条对角线，对角线的长度代表合力的大小，对角线与某一分力的夹角可以表示合力的方向 如图 2-2-1 所示，F 1=3N， F2=4N，F 合 =5N，=53 o，即合力大小为 5N，方向与 F1 夹角为 53o 2解析法可以根据平行四边形定则作出示意图，然后根据几何知识求解平行四边形的对角线，即为合力 下面是计算合力的几种特殊情况：（1）相互垂直的两个力的合成如图 2-2-1 所示，由几何知识可以求出 ，21F方向可以用 F 与
5、 F1 的夹角的正切表示 21tanF（2 ）夹角为 的大小相同的两个力的合力，如图 2-2-2 所示，由几何知识可知，所作出的平行四边形为菱形，其对角线相互垂直且平分，则合力大小 ，方向12cos与 F1 的夹角为 （3）夹角为 120o 的两个等大的力的合成，如图 2-2-3 所示，由几何知识可得出对角线将平行四边形分为两个正三角形，所以合力的大小与分力大小相等【例 2】如图所示，物体静止于光滑水平面上，力 F 作用于物体 O 点，现要使物体沿着 OO方向做加速运动(F 和 OO都在水平面内)。那么，必须同时再加一个力 F，这个力的最小值是()A、Fcos B、FsinC、Ftan D、F
6、cot【解析】根据题意可知，F 和 F的合力沿 OO方向，作出其矢量三角形，如图所示。由图可知，由 F 矢端向 OO作垂线，此垂线段即为 F的最小值，故 F的最小值为 Fsin。【答案】B【方法提炼】作出矢量三角形是解决此类问题的关键，同时要注意哪些力方向不变，哪些力大小、方向都不变.这类问题解决的方法是：大小和方向都改变的力向方向不变的力作垂线，该垂线长即为所求最小力。实际上也可以以 F 的矢端为圆心，以分力 F的大小为半径作圆，当圆与另一方向不变的力相切时，该半径即为所求力的最小值。【变式练习】如图所示，在轻质细线的下端悬挂一个质量为 m 的物体，若用力 F 拉物体，使细线偏离竖直方 向的
7、夹角为 ，且始终保持 角不变，求拉力 F 的最小值。【解析】以物体为研究对象，始终保持 角不变，说明处于静止状态。物体受到的细线的张力 FT 与拉力 F 的合力 F与物体的重力等大反向。F1F1F2 F1N图 2-2-1F1F2F图 2-2-2120oF2F图 2-2-3由于细线的张力 FT 和合力 F的方向均不变，根据各力的特点可组成矢量三角形如右图所示，由图解可以看出，当 F 垂直于力 FT 时，F 有最小值，Fmin=Fsin，因 F=mg，故 Fmin=mgsin。二、力的分解1、概念：求一个力的分力的过程.2、遵循原则：平等四边形定则或三角形定则.考点三、力的分解常用方法1正交分解法
8、（1 ）定 义：把一个力分解为互相垂直的分力的方法 （2 ）优点：把物体所受的不同方向的各个力都分解到相互垂直的两个方向上去，然后再求每个方向的分力的代数和，这样就把复杂的矢量运算转化成了简单的代数运算，最后再求两个互成 90o 的力的合力就 简单多了 （3 ）运用正交分解法解题的步骤：正确选择直角坐标系，通常选择共点力的作用点为坐标原点，直 1角坐标 x、y 的选择可按以下原则去确定：a尽可能使更多的力落在坐标轴上b沿物体运动方向或加速度方向设 置一个坐标轴c若各种设置效果一样，则沿水平方向和竖直方向设置两坐标轴正交分解各力，即分别将各力投影到坐标轴上，分别求 x 轴和 y 轴各力投影的合力
9、 Fx 和 2Fy，其中 ， ；123xxFy123yF求 Fx 和 Fy 的合力即为共点力的合力 3合力大小： ， 合力的方向与 x 轴夹角： 2yx yxtan提示：使用正交分解法时, 坐标轴的建立非常关键，一般情况下，应使尽可能多的力 “落”在坐标轴上或关于坐标轴对称；在实际问题中进行力的分解时，有实际意义的分解方法是按力的实际效果进行分解，其他的分解方法都是为了解题方便而利用的。2按问题的需要进行分解（1 ）已知合力和两个分力的方向，求分力的大小 如图 2-2-5 甲已知力 F和 、，显然所做出的平行四边形是唯一确定的，即两个分力的大小也唯一确定（2 ）已知合力、一个分力的大小和方向，
10、求令一个分力的大小和方向如图 2-2-5 乙，已知 F、F 1 和 ，显然此平行四边形也被唯一确定，即 F2 的大小和方向（角度 ）也被唯一确定了 （3 ）已知合力、一个分力的方向和另一个分力的大小，即已知 F、（F 与 F1的夹角）和 F2 的大小，求 F1 的大小和 F2 的方向，有如下几种情况：FF2Fsin 时 ,有两个解；F 2=Fsin 时，有唯一解；F 2Fsin 时，无解，因为此时无法组成力的平行四边形；F 2F 时，有唯一解3.按力的作用效果分解力根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；乙甲FF2F1 FF2F1图 2-2-5FF1 的方向图 2-2-6图 1-30图 1
11、-29 甲 图 1-29 乙再根据两个实际分力方向画出平行四边形；最后由平行四边形知识求出两分力的大小。例 1 三段不可伸长的细绳 OA、 OB、 OC 能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图 1-29 甲所示。其中 OB 是水平的， A 端、B 端固定，若逐渐增加端所挂物体的质量，则先断的绳子是A.必定是 OA B.必定是 OB C.必定是 OC D.可能是 OB，也可能是 OC解析：结点 O 受力如图 1-29 乙，其中 Tc 等于物重，而 Ta、T b 的合力 F 和 Tc 构成平衡力，显然当物重增加时，在 Ta、 Tb、 Tc 中总是 Ta 最大，故选 A。例题二 如图 1-3
12、0，在半径为 的光滑半球面上距地面高 处悬挂一定滑轮，重力为G 的小球用绕过滑轮的绳子被站在地上的人拉住。人拉住绳子，在与球面相切的某点缓缓运动到接近顶点的过程中，试分析小球对半球的压力和绳子拉力如何变化。解析：小球缓慢移动，认为处在平衡态，将重力分解，它的两个分力分别和 N、 T 构成平衡力。由三角形相似：LRhmg，显然 mg、 h 一定，R 不变则 N 不变，而 L 减小则 T 减小。思考拓宽：解此类问题关键是找力的三角形，找到三角形后，若不能利用三角函数求解，一般可考虑三角形相似。【方法提炼】按力的作用效果分解力时，关键是弄清力的作用效果，从而确定两个分力的方向，再根据平行四边形定则作出力的分解图，然后由数 学知识求出分力。根据力的实际效果分解力的思维路线：学生练习：22 页随堂检测
