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1、14.2.2 完全平方公式,第十四章 整式的乘法与因式分解,1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释并能够灵活应用.（重点） 2.理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.（难点）,平方差公式,(a+b)(ab)=,a2 b2;,公式的结构特征:,左边是,两个二项相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数（或式）；,右边是,乘式中两项的平方差即相同项的平方减去相反项的平方,应用平方差公式时应注意什么？,如果把平方差公式左边的（a+b)(a-b)换成(a+b)(a+b)或(a-b)(a-b)是否也能用一个公式来表示呢？ 下面就来探索这个问题？,讲授新课,计算
2、下列多项式的积，你能发现什么规律？,（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .,p2+2p+1,（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .,m2+4m+4,（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .,p2-2p+1,（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .,m2-4m+4,根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？,（a+b)2= .,a2+2ab+b2,（a-b)2= .,a2-2ab+b2,乘法的完全平方公式,你能用多项式与多项式相乘的法则验证它们吗？,（a+b)2= （a+b) （a+b),= a2 +ab+ab+b2,= a2 +2ab+b2,（a-b)2
3、= （a-b) （a-b),= a2 -ab-ab+b2,= a2 -2ab+b2,完全平方公式,（a+b)2=a2+2ab+b2,（a- b)2=a2- 2ab+b2,两数和（或差）的平方，等于这两个数平方的和，加上（或者减去）它们的积的2倍。,公式的结构特征： 左边是两个数（或式）的和（或差）的平方； 右边是一个二次三项式，其中有两项分别是这两个数（或式）的平方，另一项是它们乘积的2倍，平方项的符号同为“+”号，另一项的符号取决于左边两个数（或式）中间的符号。,(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2,这两个公式的共同点是什么，不同点又是什么，它们和平方
4、差公式的主要区别在哪里？,辨一辨,如果把公式中的a记作“首”，b记作“尾”，公式可记为：,（首尾）2首22首尾尾2,口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中间，中间符号看等号左边首尾间。,记一记,想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？,（1）(x+y)2=x2 +y2,(2)(x -y)2 =x2 -y2,(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2,(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2,(x +y)2 =x2+2xy +y2,(x -y)2 =x2 -2xy +y2,(-x +y)2 =x2 -2xy +y2,(2x +y)2 =4x2+4xy +y2,例1
5、运用完全平方公式计算：,解: (4m+n)2=,=16m2,(1)(4m+n)2；,(a +b)2= a2 + 2 ab + b2,(4m)2,+2(4m) n,+n2,+8mn,+n2；,(a - b)2= a2 - 2 ab + b2,y2,(2) (y- )2.,解： (y- )2=,+ ( )2,-2y,运用完全平方公式计算 ：,（1）（a+6）2 （2）（4+x）2,（3）（x-7）2 （4） （8-y）2,（5）（3a+b）2 （6）（4x+3y）2,（7）（-2x+5y）2（8）（-a-b）2,=a2+12a+36,=16+8x+x2,=x2-14x+49,=64-16y+y2,
6、=9a2+6ab+b2,=16x2+24xy+9y2,=4x2-20xy+25y2,=a2+2ab+b2,填空题： （1）(-3x+4y)2=_ （2）（-2a-b）2=_ （3）x2-4xy+_=（x-2y）2 （4）a2+b2=（a+b）2+_ （5） a2+_+9b2=（ a+3b）2,9x2-24xy+16y2,4a2+4ab+b2,4y2,（-2ab),3ab,例2 运用完全平方公式计算:,(1) 1022 (2)992,解:(1) 1022 =(100+2)2,=1002+21002+22,=10000+400+4 =10404,(2) 992 =(100-1)2,=1002-21
7、001+12,=10000-200+1,=9801,练一练 ：,运用完全平方公式计算 ：,（1）912 （2）3012,（3）4982 （4）79.82,=(90+1)2=8 281,=(300+1)2=90 601,=(500-2)2=248 004,=(80-0.2)2=6 368.04,思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?,(-a-b)2=(-a)2-2(-a) b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2,(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2,(a-b)2=a2-b2不一定
8、相等.只有当b=0或a=b时，（a-b)2=a2-b2.,(ab)2 = a22abb2,(ab)2 = a22ab+b2,公式变形式,由得,a2b2 = (ab)22ab,由得,a2b2 = (ab)22ab, - 得,(ab)2 (ab)2 = ab, + 得,(ab)2 (ab)2 = 2(a2b2 ),4.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 5.已知x+y=8,x-y=4,求xy.,解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2(-6)=37；,a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.,解：x+y=8, (x+y)2=64,即x2+y2+2x
9、y=64;,x-y=4, (x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16;,由-得,4xy=48,xy=12.,解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.,公式变形运用,1. 已知：x +y =3 ; x y =2 求 x2+y2 ； (x y)2 的值 。,2.已知：a b =1 ； a2 +b2 =25 求 ab 的值 。,3.已知：(x +y )2 =9 ; ( x y)2= 5 求 xy ; x2+y2 的值。,a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b c.,a + b + c = a +
10、( b + c) ; a b c = a ( b + c ) .,去括号,把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号：,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”.,知识要点,添括号法则,例3 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2,原式=x+(2y3)x-(2y-3) = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.,解: (1),典例精析,原式 = (a+b)+c2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+
11、2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.,解题小结：第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.,当堂练习,1在等号右边的括号内填上适当的项： （1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ） （3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ）,b-c,b-c,b+c,-b-c,2判断下列运算是否正确 （1）2a-b-c=2a-（b-c） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b） （3）2x-3y+2=-（2x+3y
12、-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c-5）,能否用去括号法则检查添括号是否正确?,本节课你学到了什么？,注意完全平方公式和平方差公式不同：,形式不同,结果不同,在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；,完全平方公式的灵活运用，应掌握公式的简单变形。,课堂小结,完全平方公式,法则,注意,(ab)2= a2 2ab+b2,1.项数、符号、字母及其指数,2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行,常用 结论,3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）,a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.,作业,课本P110页练习题第1题； 课本P112页复习巩固第2、7题。,再见,人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。,
