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1、 标准形式幂级数 : 先求收敛半径,再讨论, 非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,求幂级数收敛域的方法,例5 求下列幂级数的收敛域：,解 1考虑级数 及 ，容易得到，收,敛域分别 及 ，故原级数的收敛域,为 ,易知一般项趋于零，注意到,因,即得级数的收敛半径为1，收敛区间为 ,当 时，级数为 是交错级数，,上述级数变为,故数列 当 时单调减少，从而由交错级数审敛法,知此时级数收敛当 时，级数为 ，由于,当 时，,故此时级数发散因此原级数的收敛域为 ,解: 因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,分析: 级数缺少奇次幂项,不能直接应
2、用公式求收敛半径,可由比值审敛法求收敛半径.,例6.,解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在, 原级数 =, 其收敛半径,注意:, 求部分和式极限,求和, 映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值,求部分和等, 初等变换法: 分解、套用公式,（在收敛区间内）, 数项级数 求和,幂级数和函数的求法,常用已知和函数的幂级数,例7 求下列函数的和函数：,解 法1,1 ； 2 ,为 ，设其和函数为 ，则,易求出级数的收敛域,根据幂级数性质，有,因此,法2,显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,级数发散,记
3、,则,法1 显然幂级数 收敛域为 ， 当,时，令,故,因 ，且 ，故,法2,显然 x = 0 时, 和为 0 ;,根据和函数的连续性 , 有,x = 1 时,级数也收敛 .,即得,例8. 求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为, 直接展开法, 利用泰勒公式,函数的幂级数展开法,(1) f (x) 展开成,的幂级数，,(2) f (x) 展开成 x 的幂级数,“ f (x) 展开成 x 的幂级数”步骤：,第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛区间(R, R) 内,是否为0.,如果为零，,则函数 f (x) 在收敛区间内展开成 x 的幂级,数为, 间接展开法, 利用已知展式的函数及幂级数性质,2. 常用函数的幂级数展开式,特别地：,例9 求下列函数的麦克劳林级数(只需指出收敛区间)：,解 1,
