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1、基本数学方法导言：众里寻她千百废，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。考察数学思想方法是数学科考试说明中的一项基本要求，这是数学学科的特点所决定的。数学思想方法与课本中的数学知识相比，具有普遍性、概括性和深刻性。一方面，数学思想方法不能脱离具体的数学对象而独立的发挥作用，另一方面，在运用数学知识的过程中，又不可避免地涉及到数学思想方法。对数学思想方法的系统认识，能使我们从总体上深刻理解、全面把握数学知识。 数学思想与数学方法是不同的两个范畴“方法”比较接近于操作，与经验的联系很密切；而“思想”则具有指导性，并且与一般方法论相衔接数学方法在完成数学过程中的那些典型形式，包括一般地应如何处理数学对象、通
2、过什么途径、如何进行变化来达到解决数学问题的目的 本章的目的显然是为了系统地理解和掌握数学方法，从而使我们能有意识地选择适当的方法解题 高考中考查的数学方法主要有定义法、代入法、比较法(指比较大小)、配方法、数学归纳法、待定系数法、换元法、反证法、参数法等1定义法 所谓定义法，就是直接利用数学定义解题的一种方法 从本质上说，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的因此用定义法解题，是最直接的方法 那么，什么叫定义呢？ 定义是揭示概念内涵的逻辑方法，也就是通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念的逻辑方法 定义，是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物
3、的本质特点简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象 让我们回到定义中去！ 例1已知f(x)=xncx，f(2)=14, f(4)=252, 求y=的定义域并判定它在，1)上的单调性解析：要判断函数的单调性，必须首先确定 n与c的值 解： ， f(x)=x4+x, 由f(x)=x4x0，得其解集为(0，1). 任取x1、x2, 1)，并设x1x2， f(x1)f(x2)=x14+x1+x24x2=(x2x1)(x2+x1)(x22+x12)1. 而x2x10，又(x2x1) (x22+x12)1 f(x1)f(x2)0, 故f(x)在，1)上单调递减，y=在定义域上单调递增 解题关键：关于函
4、数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义这就要求我们对这些定义必须有深刻的本质认识，对定义中给出的每一个“词”要透彻理解 例2若an=lg, bn=a3n, 试写出bn的前三顶并证明数列bn是等差数列。解：b1=a3=lg, b2=a6=lg, b3=a9=lg, an+1an=lglg=lg, 数列an是首项a1=lg, 公差d=lg的等差数列，a3n=a1+(3n1)d,a3na3(n1)= a1+(3n1)da1+(3n4)d=3d=3lg (常数) bn是等差数列，解题关键：证明一个数列是等差(或等比)数列，必须根据定义：an+1an=d, d为常数 (或=q, q
5、为常数且q0)，而巧用等差(或等比)数列的定义，更是简化计算的有力手段。2代入法 例1若0b1)，试比较3f1(x)与f1(3x)的大小 解：f1(x)=loga(x1) (a1，x1) 3f1(x)=3foga(x1)=loga(x1)3f1(3x)=loga(3x1)，(x) 要比较 3f1(x)与f1(3x)的大小，由于 a1，y=logax单调递增, 因此只须比较(x1)3与3x1的大小 (x1)3(3x1=x2(x3)0 (x) 3f1(x)f1(3x)，当且仅当x=0时取“=” 解题关键：在x的许可值范围内比较大小，实际上是对欲比的代数式作了适当的限制与约束就本题而言，正确地确定自
6、变量x的取值范围，是不能缺少的重要步骤当然，错把x的范围当成(1，)，虽然其结果不变，但推理过程至少是不严谨的 比较法是不等式证明的基本步骤和方法之一它遵循“作差(或比商)变形判断”的解题规律作差之后的配方或因式分解，有时确实是判断“差”的符号的关键。例2设数列an为等比数列，公比q0且q1，若A=a1a2an, B=，C=，试比较 2BnC2与 An之大小略解： A=a1a2an=，B=，C=, 2BnC2An qn1与q1同号、故 (1) 当a10时，2BnC2与An ； (2) 当a1An ，若n为奇数，2BnC2An 注：对a1分类讨论，还不可能彻底解决问题，当a10时，n的奇偶性决定
7、了所比的两个表达式的大小 4配方法 配方是一种基本而重要的恒等变形的手段许多时候，它是解答全题的关键一步，而正是这一步，才为我们解完全题创造了条件 配方，它被广泛地应用于数学的各个方面、各种场合什么时候需要配方？往往要靠我们去“适当地预测” 为了“配”，需要“凑”；“凑”是配的前奏，“配”是“凑”的目的 在解题中，需要的时候，能否熟练地应用“配方法”，某种程度上体现了一个人的分析和运算的能力 例1一个首项为正数的等差数列，若S3=S11，那么这数列前多少项和为最大？解：设此等差数列首项为a1，公差为d，依题意有3a13d=11a155d2a1=13d，则数列的前n项和Sn=na1na1n(n1
8、)= 49(n7)2. a10， 当n=7时，Sn为最大 解题关键：配方是常用的一种变形方式中学阶段的主要要求是掌握如何配平方配方的目的为：(1) 判定一个代数式的正负；(2) 运用二次函数的有关性质；(3) 有利于二次方程的讨论；(4) 使用含有平方式的公式(例如两点距离公式等)例2设方程x2+2kx+4=0的两个实根为x1、x2，若3成立，求实数k的取值范围 解：=3， 由韦达定理知：x1x2=2k，x1x2=4， 于是便有(k22)25，k或k, 又 x1、x2是方程的实根， 0， 4k2160，即k2或k2 综合起来，k的范围是, +)(, . 解题关键：关于实系数一元二次方程的问题，
9、总是先考虑“”，然后恰当地应用韦达定理对于本题，去掉了对“”的讨论，虽然结果相同，但解答是不完整、不严密的而绝大部分的问题，由“”首先来确定一元二次方程中参数的取值范围，它是必不可缺少的决定性的步骤 从不等式3的结构特征必然联想到配方这样就为我们应用韦达定理扫清了障碍 思考一：已知实系数方程x2x+p=0的两根、有|=3，则p的值为( ) A2 B2.5 C2或2.5 D以上都不对 解析：选 A还是选 B？ 如果读者意识到实系数方程的根可能是实数也可能是虚数，那么显然A、B都不是所求的p值，C与D到底谁正确呢？运算中少不了配方选C 思考二：复数z1、z2满足10z12+5z22=2z1z2，且
10、z1+2z2为纯虚数，求证：3z1z2R. 解析：等式10z12+5z22=2z1z2，使我们联想到配方是当然的事，而z12z2与3z1z2又提示我们去恰到好处地“配”、“凑”系数. 证明：10z12+5z222z1z2=(3z1z2)2(z12z2)2=0， z12z2为纯虚数， (z12z2)20 则 (3z1z2)30，可知3z1z2R. 注：抓住特殊常数，有目的地“配”与“凑”，必须具备较深刻的观察能力 例3ABC中，S是它的面积，a、b是它的两条边的长，S=(a2+b2), 求这三角形的各内角 解：由absinC=(a2+b2) a2+b22absinC=0, a22absinC+b
11、2sin2C+b2cos2C=0, (absinC)2+b2cos2C=0 , A=B=45, C=90. 几道例题，绝不可能将配方法的应用的广泛性和变换的灵活性表达得淋漓尽致更深刻的感受，还在以后的应用中逐步强化 配方法是恒等变形的一种基本技巧，它在关键的时候把问题的结构特征暴露出来学会熟练地运用配方法，这是数学解题的最基本的要求5待定系数法 正如配方法一样，待定系数法也是中学数学中最基本方法之一 它的理论根据是多项式恒等实现(即两个多项式恒等的充要条件)， 由于它的应用的广泛性和它在中学数学中的突出作用，我们已经将它理解为一种解题的重要策略把待定系数法提高到一种思想方法上来认识，足见这在中学数学中的突出的地位 例1已知函数y=的最大值为7，最小值为1，求此函数的解析式 解析：求函数解析式，实际上是确定系数m、n的值 有些问题的本身并未指明要用待定系数法，甚至问题的解决也并非十分直观地应用了多项式恒等的原理，它只是反映了应用这一方法的一些基本思想，我们也将这一类解决问题的方法称为待定系数法，它是广义的 解：将函数式变形为： (ym)x24x(yn)0 xR, =(4)24(ym)(yn)0，即y2(mn)y(mn1
