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1、第四章 积分,首页,基本要求、重点难点,4.1 定积分的概念与性质,4.2 微积分基本定理,4.3 基本积分法,4.4 无穷区间上的反常积分,4.5 演示与实验四,基本要求,掌握切线、变速直线运动的速度抽象出的导数概念。 了解变量的“变化率”问题。 了解一元微积分的一元函数积分学。 掌握积分学在物理、天文、工程、地质、化学，以及生物学中的应用。 掌握微分与积分之间联系的重要结果微积分基本定理，以及常用的积分方法和无穷积分的概念。,重点难点,重点： 一元函数积分的法则。 微积分基本定理的使用。 难点： 定积分概念与性质、基本积分与无穷区间上的反常积分。 定积分的定义、定积分的计算和应用。,4.1
2、 定积分的概念与性质,4.1.1引例,1.曲边梯形的面积,后页,(2) 近似代替(以直代曲)，求和 在xi1，xi上任取一点i，用高为f(i)，宽为xi的矩形面积近似代替“窄曲边梯形”面积Si(i1，2，n)。于是得曲边梯形的面积的近似值： f(i)xiSn 如图(b)所示,(3) 取极限，求得面积精确值 可以看出，随着分割的越来越细，即0，Sn对S的逼近程度越来越好，于是有,2.变速直线运动的路程,4.1.2定积分的定义,对定积分的定义作几点说明：,4.1.3定积分的基本性质,4.2 微积分基本定理,4.2.1微积分第一基本定理,由定积分的定义知道，定积分是一个仅与被积函数和积分限有关的确定
3、的数。当我们固定被积函数与积分下限时，定积分随着积分上限的变化而变化，它是积分上限的函数，我们把它记作S(x)，即 从几何意义上看，S(x)表示区间a，x所对应的曲边梯形的面积，它随x的变化而变化(如图)。,4.2.2原函数和不定积分,定义4.2 如果在某区间上可导函数F(x)的导数是f(x)，即对该区间上的每一点x，都有 F(x)f(x)，或dF(x)f(x)dx， 那么称F(x)为f(x)在该区间上的原函数。,1.原函数和不定积分概念,2.基本积分表,4.2.3微积分第二基本定理(牛顿莱布尼茨公式),1.原函数和不定积分概念,4.3 基本积分法,4.3.1第一换元法,如果被积函数的形式是f
4、(x)(x)(或可以化为这种形式)，且 u(x)在某区间上可导，f(u)具有原函数F(u)，则可以在f(x)(x)dx的被积函数中将(x)dx凑成微分d(x)，然后对新变量u求不定积分，就得到下面的换元公式：,4.3.2第二换元法,这种积分法叫做第二换元法。,4.3.3分部积分法,4.4 无穷区间上的反常积分,4.5 演示与实验四,4.5.1实验目的,1.加深对微积分第一基本定理的理解； 2.验证牛顿莱布尼茨公式； 3.学用Mathematica求积分。,4.5.2原理与方法,4.5.3内容与步骤,1. 用Mathematica求不定积分 命令格式：Integratef,x或直接从模板上选取相应模块。 2. 用Mathematica求定积分 命令格式：Integratef,x,a,b或直接从模板上选取相应模块。 3. 用Mathematica演示微积分第一基本定理 (1)数值演示 (2) 图形演示 4. 用Mathematica验证牛顿莱布尼茨公式,Thank You !,
