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1、2010-10-7,1,五、拉氏变换和拉氏反变换 拉氏变换 设函数f(t)(t0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正常数，使得 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： 式中：s=+j(, 均为实数),2010-10-7,2,拉氏反变换 L-1为拉氏反变换的符号。,称为拉普拉氏积分；,F(s)称为函数f(t)拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f (t)称为F(s) 的原函数；,L为拉氏变换的变换符号。,几种典型函数的拉氏变换 单位阶跃函数1（t）,2010-10-7,4,指数函数 f(t)=e-at (a为常数),2010-10-7,5,正弦函数和余弦函数,由欧拉公式，有：,201
2、0-10-7,6,从而,2010-10-7,7,单位脉冲函数（t）,由洛必达法则：,2010-10-7,8,单位速度函数,2010-10-7,9,单位加速度函数 函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。,2010-10-7,10,拉氏变换的主要定理 在某些情况下，函数f(t)在t=0处有一个脉冲函数。这时必须确定拉氏变换的积分下限是0还是0，并记为：,2010-10-7,11,叠加定理 齐次性：Lf(t)=Lf(t),为常数 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bf2(t) a,b为常数； 显然，拉氏变换为线性变换。,2010-10-7,12,实微
3、分定理 证明：由于,2010-10-7,13,所以： 同样有： 式中，f(0),f”(0),为f(t)的各阶导数在t=0时的值,2010-10-7,14,当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：,2010-10-7,15,复微分定理 若Lf(t)=F(s),则除了F(s)的极点之外，有：,2010-10-7,16,积分定理 当初始条件为零时：,2010-10-7,17,证明：,2010-10-7,18,同样 当初始条件为零时,2010-10-7,19,延迟定理 设当t0时，f(t)=0，则对任意0，有：,2010-10-7,20,位移定理,2010-10-7,21,初值定
4、理,初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。,2010-10-7,22,终值定理 若sF(s)的所有极点位于左半s平面，即： Limtf(t)存在。则：,2010-10-7,23,又由于 终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同,2010-10-7,24,卷积定理 其中，f(t)*g(t)表示f(t)和g(t)的卷积。 若t0时，f(t)=g(t)=0,则f(t)和g(t)的卷积可以表示为：,2010-10-7,25,证明：,2010-10-7,26,时间比例尺定理,2010-10-7,27,求解拉氏变换的部分分式法 部分分
5、式法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解为下列分量： F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s) 假定F1(s)，F2(s)，Fn(s)的拉氏反变换 可以容易地求出，则,2010-10-7,28,在控制理论中，通常： 为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式 式中，p1, p2, pn为方程A(s)=0的根，称为F(s)的极点； 此时，即可将F(s)展开成部分分式。,2010-10-7,29,F(s)只含有不同的实数极点 式中，Ai为常数，称为s=pi极点处的留数。,2010-10-7,30,2010-10-7,31,2010-10-7,32,F(s)含有共轭复数极点 假设F(s)含有一
6、对共轭复数极点-p1、p2，其余极点均为各不相同的实数极点，则：,式中，A1和A2的值由下式求解,上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定A1和A2的值,2010-10-7,33,注意，此时F(s)仍可分解为下列形式：,由于p1、p2为共轭复数，因此，A1和A2也为共轭复数。,2010-10-7,34,2010-10-7,35,由上式两边实部和虚部分别相等，得：,2010-10-7,36,2010-10-7,37,查拉氏变换表得,2010-10-7,38,2010-10-7,39,2010-10-7,40,2010-10-7,41,查拉氏变换表得：,2010-10-7,42,F(s
7、)含有重极点 设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则：,2010-10-7,43,2010-10-7,44,注意到：,所以：,2010-10-7,45,第5讲,2010-10-7,46,2010-10-7,48,用MATLAB展开部分分式 设：,在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数按降序排列。,如果要输入多项式：x4-12x3+25x+126,p=1 -12 0 25 126 p=1 -12 0 25 126,2010-10-7,49,用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式,即：num=bo b1bm den=a0 a1 an MATLAB提供函数residu
8、e用于实现部分分式展开，其句法为： r,p,k=residue(num,den) 其中，r，p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。,2010-10-7,50,若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：,若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项,2010-10-7,51,2010-10-7,52,2010-10-7,53,应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤 将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变化表达式； 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,2010-10-7,54,2010-10-7,55,实例1 设系统微分方程为： 若x
9、i(t)=1(t),初始条件分为xo(0)，xo(0),试求xo(t) 解：对微分方程左边进行拉氏变换：,2010-10-7,56,2010-10-7,57,对方程右边进行拉氏变换： 从而,2010-10-7,58,2010-10-7,59,所以： 查拉氏反变换表得： 当初始条件为零时：,2010-10-7,60,实例2,2010-10-7,61,2010-10-7,62,2010-10-7,63,P27 例214,2010-10-7,64,由上述实例可见： 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动包含在微分方程得拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可以得到微分方程的
10、全解。 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 系统响应可以分为两部分：零状态响应和零输入响应,2010-10-7,65,四、传递函数 传递函数的概念和定义 传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 零初始条件： 在t0时，输入量及其各阶导数均为零； 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t0时，输出量及其各阶导数也为零。,2010-10-7,66,传递函数的求解实例： 质量弹簧阻尼系统的传递函数 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为： 按照定义，系统的传递函数为：,2010-10-7,67,R
11、-L-C无源电网络的传递函数 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：,2010-10-7,68,几点结论： 传递函数是复数s域中的系统数学模型，其 参数仅取决于系统本身的结构及其参数，与系统的输入形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的国有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部输入输出特性来描述系统的内部特性。,2010-10-7,69,传递函数的一般形式 考虑线性定常系统 当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：,2010-10-7,70,特征方程、零点和极点 N(s)
12、=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高次等于系统的阶次。,2010-10-7,71,当s=0时： G(0)=bm/an=K 式中，K称为系统的放大系数或增益。 从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。,2010-10-7,72,零点和极点 将G(s)写成下面的形式： 式中，分子M(s)=0的根s=zi(i=1、2、 、 m)，称为传递函数的零点； 分母N(s)=0的根s=pj(i=1、2、3、n)，称为传递函数的极点。 系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于
13、系统的结构参数。,2010-10-7,73,零、极点分布图 将传递函数的零、极点 表示在复平面上的图形 称为传递函数的零、极 点分布图。图中，零点 用“O”表示，极点用“” 表示。,2010-10-7,74,传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量于输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于定常线性系统 传递函数是s的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中各项系数对应相等，完全取决于系统的结构参数；,2010-10-7,75,传递函数是零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件
14、下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况； 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合于单输入单输出系统。,2010-10-7,76,脉冲响应函数 初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用下的输出响应的拉氏变换为： g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）。 系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于系统动态特征的相同信息。,2010-10-7,77,注意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此，由：Y(s)=G(s)X(s) 知线性系统在任意输入作用下，其时域输出： 式中，当t0时，g(t)=x(t)=0。,2010-10-7,78,补充习题,
