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1、一、考试内容 线性方程组和非线性方程（组）的求解、矩阵特征值和特征向量的计算、微积分的计算、微分方程定解问题的求解等，都是工程、科技、统计等实际问题中大量碰到的数学问题，这些问题的精确解很难求出。 而计算方法则是一门适合于计算机计算求解的数值方法，它简单可行，能有效求出上述数学问题的近似解。 通过本课程的学习，要求学生能掌握利用计算机求解基本数学问题常用的数值计算方法，学会构造基本的计算格式，并能作一定的误差分析 ，使学生具备基本的科学计算能力。主要有： 1. 了解计算方法的认务和特点； 2. 熟练掌握方程的的近似解法，包括二分法、迭代法、牛顿迭代法和弦割法 3. 熟练掌握线性代数方程组的解法
2、，直接解法中的高斯消去法、矩阵的直接三角分解法，平方根分解法，解三对角方程组的追赶法；解线性方程组的迭代法，简单迭代法，雅可比迭代法，赛德尔迭代法，SOR方法及其收敛性 4. 熟练掌握矩特征值和特征向量的计算，乘幂法与反幂法，古典雅可比方法，雅可比过关法 5. 熟练掌握插值法，拉格朗日插值法，牛顿插值法，等距节点插值法，埃尔米特插值法，三次样条插值法 6. 熟练掌握最小二乘法与曲线拟合，掌握矛盾方程组与最小二乘法，数据的多项式拟合，可化为线性拟合模型的曲线拟合 7. 熟练掌握数值积分与数值微分，包括牛顿-柯特斯求积公式、复化求积公式、龙贝格求积算法、高斯型求积公式和数值微分； 8. 熟练掌握常
3、微分方程初值问题数值解法，包括欧拉法与梯形法、 泰勒展开法与龙格-库塔法、线性多步法2006-2007第一学期一. 填空1） 近似数关于真值有_位有效数字；2） 设有插值公式，则=_；（只算系数）3） 设近似数，都是有效数，则相对误差_；4） 求方程的根的牛顿迭代格式为_；5） 矛盾方程组与得最小二乘解是否相同_。二. 用迭代法（方法不限）求方程在区间（0，1）内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于时迭代结束。三. 用最小二乘法中的常数和，使该函数曲线拟合与下面四个点（1，-0.72）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32)（结果保留到小数点后第四位）四用矩阵的
4、直接三角分解法求解线性方程组五设要给出的如下函数表用二次插值多项式求得近似值，问步长不超过多少时，误差小于 。六. 设有微分方程初值问题 1）写出欧拉预估校正法的计算格式； 2)取步长h=0.1，用欧拉预估校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。七. 设有积分 取11个等距节点（包括端点0和1），列出被积函数在这些节点上的函数值（小数点侯保留4位）； 用复化Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留4位）。八. 对方程组1. 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？ 2.取初始向量，用雅可比迭代法求近似解，使九. 设f(x)在区间a，
5、b上有二阶连续导数，且f(a)=f(b)=0，试证明参考答案：1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023 （4） (5) 否2. 方程的等价形式为 ，迭代格式为。收敛性证明；当时，所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛取迭代初值为，迭代结果如下00.510.606530.0106520.54524-0.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006313. 11.52.02.512.254.06.252.718284.481697.3890612.18249矛盾方程组为 对应的正则方程组为解得 所以拟和
6、曲线方程为4. 由矩阵Doolittle分解的紧凑记录形式有 回代求解得 , ， 方程组的解向量为.5. 令 可求得0.2498（或0.2289）6. 7. 0.6932 8. （1）Jacobi迭代法的迭代矩阵为 谱半径.此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛.（2）9. 以为插值节点，做Lagrange插值：其中。故2007-2008第一学期1 填空（15分）1） 设近似数，都是四舍五入得到的，则相对误差 _2）拟合三点A(3,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于轴的直线方程为 _.3) 近似数关于真值有 _ 位有效数字.4） 插值型求积公式至少有_次代数精确度.5) Simps
7、on(辛浦生)求积公式有_次代数精确度.2.（10分）已知曲线 与在点（1.6,6.9）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值，当误差小于时停止迭代。3（10分）用最小二乘法确定中的常数和，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1，2.01), (2，7.3), (3,16.9), (4,30.6) (计算结果保留到小数点后4位)4.(10分) 用乘幂法求矩阵的按模最大的特征值的第k次近似值及相应的特征向量。要求取初始向量，且。5（10分）设有方程组写出与Jacobi迭代法对应的Gauss-Seidel方法的迭代格式；Jacobi方法的迭代矩阵为：当参数a满足什么条件时，Jacobi方法对任
8、意的初始向量都收敛。6（10分）已知四阶连续可导函数的如下数据：1205110试求满足插值条件的三次插值多项式，并写出截断误差的导数型表达式（不必证明）。7（15分）设有积分1）取7个等距节点（包括端点1和2），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）；2）用复化simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。8（10分）给定初值问题写出欧拉（Euler）预估-校正的计算格式；取步长，求的近似值。9（10分） 用迭代法的思想证明： （等号左边有k个2）。参考答案：1: (1)6.78105, (2) x=2 (3) 2 （4）n-2 (5) 32. 切线斜率
9、相等：，牛顿迭代格式：取，得3. 矛盾方程组：正则方程组：4. 取初始向量，用乘幂法公式进行计算，且取，得，5.(1)迭代格式为(2)Jacobi迭代法的迭代矩阵为(3)谱半径.由得此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛.6. 720.2174 8（1）Euler预-校法的计算格式为 （2）将 代入，则代入得 ，9证明 考虑迭代格式，则，（k个2）设，则当x0,2时，j(x) j(0),j(2)= 0,2；由，则当x0,2时，所以，由迭代格式产生的序列收敛于方程在0,2内的根a设，则有，即解之得舍去不合题意的负根，有，即 诚信保证本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规
10、则，诚实做人。 本人签字：_编号：_ 学号：_ 班号：_姓名：成绩 西北工业大学考试试题（卷）2009 2010 学年 第 2 学期开课学院：理学院 课 程：计算方法 学时：32 2010年04月30日 考试时间：2小时 闭卷（A卷）（共9道题，注意检查）1（每小题3分，共15分）填空（1） 设近似数, 都是“四舍五入”得来的，则相对误差_;（2）拟合三点 A（3 ，1） ， B（1 ，3） ， C（2 ，2）的平行于轴的直线 方程为_；（3） 近似数 关于真值 有_位有效数字；（4） 插值型求积公式至少有_次代数精确度；（5） Simpson（辛浦生）求积公式有_次代数精确度。2（10分）已
11、知曲线 与 在点（）附近相切。试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值，当时停止迭代。西北工业大学命题专用纸 共 8 页 第 1 页3（10分）用最小二乘法确定中的常数和，使该函数曲线拟合 于下列四个点： （1 , 2.01）, (2 , 7.3) , (3 , 16.9) , (4 , 30.6) (计算结果保留到小数点后第4位)。西北工业大学命题专用纸 共 8 页 第 2 页4（10分）用乘幂法求矩阵的按模最大的特征值的第次近似值及相应的特征向量。要求取初始向量，且。所以：= ，西北工业大学命题专用纸 共 8 页 第 3 页5（10分）设有方程组 （）(1) 写出与Jacobi 迭代法对应的Ga
12、uss-Seidel方法的迭代格式；（1） Jacobi方法的迭代矩阵为：（2） 当参数满足什么条件时Jacobi方法对任意初始向量都收敛？西北工业大学命题专用纸 共 8 页 第 4 页6（15分）已知四阶连续可导函数的如下数据： 1 2 0 5 1 10试求满足插值条件 的三次插值多项式，并写出截断误差的导数型表达式(不必证明)。西北工业大学命题专用纸 共 8 页 第 5 页7（15分）设有积分（1）取7个等距节点（包括端点1和2），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）； （2）用复化Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。西北工业大学命题专用纸 共 8 页 第 6 页8（10分）给定初值问题 ， ， （1） 将在作二阶Taylor展开，由此建立求解该初值问题的计算格式；（2） 取步长=0.2，用上述方法求、的近似值。西北工业大学命题专用纸 共 8 页
