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1、素质杯全国数学邀请赛培训资料 60第一讲速算与巧算知识提要在每次数学竞赛中都有一定数量的计算题，计算题一般可以分为两类：一类是基本题，主要考查同学们对基本知识的理解和掌握的程度；另一类则是综合性较强和灵活性较大的题目主要是考查同学们灵活、综合应用知识的能力，这就要求同学们必须要有扎实的基础知识和熟练的技能技巧。简便运算主要是应用加法交换律、结合律；减法的性质；一个数减去几个数的和，可以从被减数中依次减去各个减数；一个数连续减去几个数，可以从被减数里一次减去各个减数的和；乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律：除法的性质等进行简便运算。技巧运算主要根据试题的特点，寻找某种规律或应用某些公式把算
2、式变形，从而达到运算简便的目的。常用方法主要有以下几种方法：1交换法：看哪几个数能凑成整十、整百，就交换它们的位置，把它们凑在一起计算，交换位置时要连同它前面的运算符号一起交换2拆数法：就是把一个数拆成两个数或几个数，使分拆后的数能和其他数凑成整十、整百。3结合法：就是把能凑成整十、整百的数用括号结合在一起，使计算简便。4去括号法：如果括号前面是加号，去括号后，原数的加、减符号都不变；如果括号前面是减号，去括号后，原来括号里的加号要变为减号，原来的减号要变为加号。5添括号法：如果需要改变运算顺序，就要添加括号如果括号前面是加号，括到括号里面的各个数都不用改变符号如果括号前面是减号，括到括号里面
3、的数原来的加号要变成减号，原来是减号要变成加号。6基准数法：如果n个数都接近某个数，就把原来的，n个数都看作是这个数再比较多加了几要减去几，少加了几，再加上几；多减了几，就加上几，少减了几就减去几计算结果不变。7利用等差数列求和法进行简算。8要熟记2x5=10，4x25=100，8x125=1000，一个数乘10，就是在这个数后面加上一个零；乘100，就是在这个数后面加上两个零；乘1000，就是在这个数后面加上三个零基本技巧一、基本运算律l加法交换律：a+b=b+a；2加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)；3减法的性质：a-b-c=a-(b+c)；4乘法交换律：ab=ba；5乘法结合律：
4、abc=(ab)c=a(bc)；6乘法分配律：a(b+c)=ab+ac，a(b-c)=ab-ac；7除法的性质：abc=a(bc)二、数列及特殊公式1等差数列(1)通项公式：an=a1+（n-1）d；(2)求项数公式：n=an-a1d+1；(3)求和公式：S=a1+ann22等比数列：an=a1qn-1；Sn=a1(1-qn)1-q(q1)31+2+3+n=12n(n+1)；12+22+32+n2=16n(n+1)(2n+1)41+2+3+n+3+2+1=n2三、常用的运算性质(1)积不变的性质：若一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，则积不变(2)商不变的性质：被
5、除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变四、一些特殊计算的解题技巧(1)一个两位数乘以11技巧：在这个两位数的数字之间，写这个两位数的数字之和，如果和满十，要向前一位进一，个位仍写在两数中间，如：81x11=891，73x11=8038+17+3(2)一个三位数乘以101技巧：先将三位数加上它的百位数，再自左至右写下这个三位数的后两位数字如：436x101=44036，348x101=35148436+4348+3典例精讲例1、计算：321x250x125x32分析：可将32分解成4x8后，再根据乘法的交换律和结合律进行简便运算解：原式=321x250x125x8x4=321
6、x(250x4)x(125x8)=321xl000xl000=321000000例2、计算:2006+200.6+20.06+2.006+994+99.4+9.94+0.994分析1：通过审题就能够发现2006和994可以凑整为3000，200.6和99.4可以凑整为300，其余各项依次类推解法1：原式=(2006+994)+(200.6+99.4)+(20.06+9.94)+(2.006+0.994)=3000+300+30+3=3333分析2：通过观察，可以发现式子的前半部分和后半部分分别有整数公因数2006和994解法2：原式=2006(1+0.1+0.01+0.001)+994(1+0
7、.1+0.01+0.001)=(2006+994) 1.111=3333例3、计算3.5632+2.535.6+0.356430分析：可根据“积不变的性质”将算式进行改写：原式=35.63.2+2.535.6+35.64.3这样每一个乘法算式中都含有相同因数35.6，可用乘法分配律进行合并解：原式=356x32+25x356+356x43=356x(32+25+43)=356xl0=356例4、计算：19951273+625730+1533分析：“73”好像是关键，如果可以提取73那不是很简单吗？解：原式=19955x73+024x73x10+73x21=73x(19955+24+21)=73
8、x2000=146000注：(1)提取公因数的两大特征：一是要有“公因数”，“疑似”公因数也不错，我们可以借助下面两招对它加工二是要有互补数(2)axb=（ax10）（610），axbxc=ax(bxc)(3)变招abxc=cbxa例5、计算：（0523x3527+0227x3527）11-71811分析：(1)本题中含有几种运算，先算什么？(2)括号内的式子有何特点，能提公因数吗？其余的呢？你能试试吗？相信你能行解：原式=3527(0523+0227)x11-71811=(3527x075)11-718x11=(862734)11-718x11=431811-718x11=113618=22
9、例6、计算：106428+173628分析：1064和1736都除以28可以将两数合并后再除以28解：原式=(1064+1736)28=280028=100第二讲巧找规律知识提要1按一定规律排列的一串数通常称为数列，从数列中找规律，常见的有三种情况：一种情况是根据前后两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；另一种情况是根据相隔两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；第三种是分群数列2关于一些数、图形和事物的变化是循环出现的，这种特殊的规律问题称为周期问题解答这类问题，关键掌握以下几点：(1)数、图形或事物的变化是不是具有周期性；(2)每个周期的长度是多少；(3)每个周期内变化的次序
10、；(4)解答此类问题，用问句中的数据除以周期的长度，并把所得余数同一个周期内某种状态相对应常用规律1两个整数和与积的尾数分别等于这两个整数尾数的和与积的尾数2求若干个整数连乘的积的末尾有多少个零要研究这些整数中含有多少个因数2和多少个因数5，一般求较少的一个即可3对分数串问题要注意观察是不是分群数列；观察分子、分母的变化，观察是不是呈等差或等比数列的形式出现4研究循环小数中重复出现的周期现象首先找出变化周期确定循环小数的循环节长度及每一循环节中的数字结构，找出规律，灵活解答问题5整数计算的个位数字有一些常见的规律：(1)一个数的平方，其个位数字只能是0、1、4、5、6、9；(2)设a是任意整数
11、，a5与a的个位数字相同；(3)一个整数，如果它的个位数字是1，5或6，那么这个整数的平方的个位数字也是1，5或6；(4)两个连续自然数的乘积的个位数字只能是0，2，6典例精讲例1、 在下列图中填出所缺的数(1)(2)分析：图形有趣吧！仔细观察两组图像什么？哈！(1)题像不像张衡发明的地震仪，就是癞蛤蟆少了几只，你发现大圆中的数与四周小圆中数的区别了吗？它们之间有什么样的关系呢？先看一下一个图形中各数之间的关系，再看其他图形中的数是否也符合这个关系，记住几个图形中的关系要一致！(2)题的“拖拉机”怎么样，后轮（圆）与“拖拉机”之间留有空隙，这给你什么启示？设想一下，找出规律解：(1)分析图形中
12、数据可知：(5+4+6+2)x2=34，(3+4+6+7)x2=40，(5+7+3+4)x2=38，(1+3+5+7)x2=32规律：4个小圆内数的和等于大圆内数的一半则最后一个图形中大圆中的数为：(8+4+2+6)2=40(2)由图中数据可知：(3-1)x6=12，(5-2)x2=6，（6-3）7=21规律：两个三角形中的数之差（大数减小数）与正方形中的数相乘，结果应等于圆内的数则空白处应填(7-3)x4=16例2、一串数排成一行，前两个数都是1从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，即1，1，2，3，5，8，13，这串数的前2009个数中，共有5的倍数多少个？分析：(1)这串数按要求写下
13、去会发现什么规律呢？(2)问“5的倍数”，你有什么想法？会找到规律吗？(3)把这串数按要求多写出一些，除以5的余数看看吧！你会发现奇迹的！解：在此数列中，除以5的余数为1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可见，依上面的顺序余数的排列规律是20个为一周期，每20个数中是5的倍数的有4个2009-20=1009即这串数的前2009个数中5的倍数共有4xl00+1=401（个）例3、下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，问：(1)第2009个算式是()+()；(2)
14、第几个算式的和是3000分析：观察每一个式子有什么特点？有几个加数，每一个加数有规律吗？沿着这个思路，你也会发现新大陆！解：(1)第1个加数依次为1，2，3，4，1，2，3，4，每4个数循环一次，重复出现因为20094商502余1，所以第2009个算式中的第1个加数是1这些算式中的第2个加数依次是1，3，5，7，9，形成了首项为1，公差为2的等差数列根据等差数列的通项公式可知第2009个算式的第2个加数是：1+(2009-1)x2=1+4016=4017即第2009个算式是1+4017(2)由于“和”3000是偶数，根据这些算式所得和的排列规律可知，只有1+x=3000或3+x=3000其中x是数列1，3，5，7，9，中的某个数下面用试验法求出x值若1+x=3000则x=2999，根据等差数列的项数公式，得(2999-1)2+1=1500，这说明2999是数列1，3，5，7，9，中的第1500个数，而1500-4=375这说明第1500个算式中的第一个加数是4与假设1+x=3000矛盾所以x2999若3+x=3000，则x=2997根据等差数列的项数公式，得(2997-l)2+1=1499，这说明2997是等差数列1，3，5，7，9，中的第1499个数，又1499-4=3743，说明第1499个算式中的第1个加数是3
