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1、综合题（含特殊三角形）综合题（含特殊三角形）1.如图，对称轴为的抛物线与轴相交于点、.(1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0S18时，求的取值范围；(3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使OP为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判
2、断ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B连接EC，AC点P，Q为动点，设运动时间为t秒（1）填空：点A坐标为
3、 ；抛物线的解析式为 （2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动当t为何值时，PCQ为等腰三角形？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PFAB，交AC于点F，过点F作FGAD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ当t为何值时，ACQ的面积最大？最大值是多少？4.如图（1），直线交轴于点A，交轴于点C（0，4），抛物线经过点A，交轴于点B（0，-2）.点P为抛物线上一个动点，过点P作轴的垂线PD，过点B作BDPD于点D，连
4、接PB，设点P的横坐标为.（1）求抛物线的解析式；（2）当BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）如图（2），将BDP绕点B 逆时针旋转，得到BDP，当旋转角PBP=OAC，且点P的对应点P落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.1.解：(1)点B与O(0,0)关于x=3对称，点B坐标为(6,0).将点B坐标代入y=ax2+2x得：36a+12=0；a=13.抛物线解析式为y=13x2+2x.当x=3时,y=1332+23=3；顶点A坐标为(3,3). (2)设直线AB解析式为y=kx+b.A(3,3),B(6,0)， 6k+b=0 解得 k=13k+b=3， b=6y=x+6.直线lA
5、B且过点O，直线l解析式为y=x.点P是l上一动点且横坐标为t，点P坐标为(t,t).当P在第四象限时(t0)，S=SAOB+SOBP=1263+126|t|=9+3t.0S18，09+3t18，30，0t3.当P在第二象限时(t0)，作PMx轴于M，设对称轴与x轴交点为N，则S=S梯形ANMP+SANBSPMO=123+(t)(3t)+123312(t)(t)=12(t3)2+9212t2=3t+9，0S18，03t+918，3t3；又t0，3t0；t的取值范围是3t0或0t3.(3)存在,点Q坐标为(3,3)或(6,0)或(3,9).由(2)知t的最大值为3,则P(3,3)；过O、P作直线
6、m、n垂直于直线l;直线l的解析式为y=x，直线m的解析式为y=x；可设直线n的解析式为y=x+h，则有：3+h=3，h=6；直线n:y=x6；联立直线m与抛物线的解析式有：y=xy=13x2+2x，解得x=0y=0,x=3y=3；Q1(3,3)；同理可联立直线n与抛物线的解析式,求得Q2(6,0),Q3(3,9).2.解：（1）直线y=2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，A（5，0），B（0，10） 1分抛物线过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx抛物线过点A（5，0），C（8，4），抛物线解析式为y=x2x 3分A（5，0），B（0，10），C（8，4），AB2=52+102=125
7、，BC2=82+（104）2=100，AC2=42+（85）2=25AC2+BC2=AB2ABC是直角三角形6分（2）如图，当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10t时，由（1）得AC=OA，ACQ=AOP=90在RtAOP和RtACQ中，RtAOPRtACQ 7分OP=CQ2t=10tt=当运动时间为时，PA=QA 8分（3）存在由（1）知：AB=5y=x2x，抛物线的对称轴为x= 9分设点M（，m），若BM=BA时，则（）2+（m10）2=125m1= ，m2= M1（，），M2（，）10分若AM=AB时，则（）2+m2=125m3=，m4=M3（，），M4（，） 11分若MA=MB时，
8、则（5）2+m2=（）2+（10m）2m=5M（，5），此时点M恰好在线段AB上，构不成三角形，舍去 12分点M的坐标为：M1，M2，M3，M4 13分3.解：（1）抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为y=a（x1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（31）2+4=0，解得a=1故抛物线的解析式为y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3；（2）当CP=CQ时，t=1；当QC=QP时，；当PC=PQ时，（3）A（1，4），C（3，0），设直线AC的解析式为y=kx+b，则
9、，解得故直线AC的解析式为y=2x+6P（1，4t），将y=4t代入y=2x+6中，得x=1+，Q点的横坐标为1+，将x=1+代入y=（x1）2+4中，得y=4Q点的纵坐标为4，QF=（4）（4t）=t，SACQ=SAFQ+SCPQ=FQAG+FQDG=FQ（AG+DG）=FQAD=2（t）=（t2）2+1，当t=2时，ACQ的面积最大，最大值是14.解（1）由直线过点C（0，4），得，.1分当时，解得.A（3，0）. 抛物线经过点A（3，0），B（0，2），抛物线的解析式为.4分（2）点P的横坐标为，P（，），D（，-2）.5分若BDP为等腰直角三角形，则PD=BD.当点P在直线BD上方时，
10、.（）若点P在轴左侧，则0，BD=.，（舍去），（舍去）.6分（）若点P在轴右侧，则0，BD=.，（舍去），.7分当点P在直线BD下方时，0，.，（舍去），.8分综上所述， 或.即当BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或.9分（3）满足条件的点P的坐标为（，）、（，）或（、）.（12分）5如图，把RtACO以O点为中心，逆时针旋转90 ，得RtBDO，点B坐标为（0，-3），点C坐标为（0，），抛物线y=-x2+bx+c经过点A和点C （1）求b，c的值； （2）在x轴以上的抛物线对称轴上是否存在点Q，使得ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 （3）点P从点O出
11、发沿轴向负半轴运动，每秒个单位，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，当为几秒时，以M、P、O、C为顶点得四边形是平行四边形？ 6.如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度（090），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG（1）求证：AOGADG；（2）求PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明
12、理由5.解.(1) 由旋转知：OA=OB=3A（3，0） 1分由 ， 4分（2）存在，有2个Q点，坐标分别为：（1，）；（1，）. 8分（3）OC=，当 M、P、O、C为顶点得四边形是平行四边形时，PM=M点的纵坐标为或. 9分由解之，x=2或0 10分由 解之，x=1+或1 11分结合条件及图形分析得：OP=2或+1 当t=2或+1秒时，以M、P、O、C为顶点得四边形是平行四边形。 12分6.解（1）证明：由题意得，AO=AD，AOG=ADG=90，在RtAOG和RtADG中，AO=AD，AG=AG，AOGADG（HL）. 2分（2）PAG =45,PG=OG+BP.理由如下：由（1）同理可证ADPABP，则DAP=BAP，DP=BP，由（1）AOGADG，1=DAG，DG=OG，又1+DAG+DAP+BAP=90，2DAG+2DAP=90，即DAG+DAP=45，PAG=DAG+DAP=4
