理论力学动力学全解

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1、如图所示，均质曲柄AB长为r，质量为m1，假设曲柄受力偶作用以不变的角速度 转动，并带动丁字滑槽连杆以及与它固连的活塞D。滑槽、连杆、活塞总质量为m2 ，质心在点C，在活塞上作用一恒力F。,例：曲柄丁字滑杆机构,不计摩擦及滑块 B 的质量。求：作用在曲柄轴 A 处的最大水平约束力Fx。,解：如图所示，应用质心运动定理，有,例：曲柄丁字滑杆机构,显然，最大水平约束力为：,思考？如何求曲柄与滑槽间的内力！,图示系统中，三个重物的质量分别为m1、m2、m3，由一绕过两个定滑轮的绳子相连接，四棱柱体的质量为m4，略去一切摩擦和绳子的重量。,3若将上述系统放在有凸起的地面上，如图所示，当物块1下降距离

2、s 时，系统对凸起部分的水平压力。,求： 1系统动量的表达式； 2系统初始静止，当物块1下降 s时，求四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。,例：物体系统,解：1. 确定系统的动量表达式。建立坐标系如图示。根据,取四棱柱为动系，四棱柱体的速度为v，各物块相对四棱柱体的速度为vr，则,例：物体系统,2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。,由于不计摩擦，系统在水平方向上动量守恒，即：,由此解得,又因为系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分，得到四棱柱体的位移。,例：物体系统,3. 确定对凸起部分的作用力，可以采用质心运动定理。,设物块相对四棱柱体的加速度为ar，由于凸起部分

3、的作用，四棱柱体静止不动,根据质心运动定理，并注意到,得到四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力：,例：物体系统,电动机的外壳和定子的总质量为 m1 , 质心C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2 ，质心 O2 与转轴不重合 ，偏心距 O1O2 = e 。若转子以等角速度旋转,求：电动机底座所受的水平和铅垂约束力。,例 题 2, 动量定理应用举例,解：1、选择包括外、 壳、定子、转子的电 动机作为研究对象。,2、系统所受的外力：,定子所受重力m1g;,转子所受重力m2g;,底座所受约束力 Fx、Fy、M。,例 题 2, 动量定理应用举例,3、各刚体质心的加速度,aC1 aO1=0 ; a

4、C2 aO2e2 (向心加速度),例 题 2, 动量定理应用举例,4、应用质心运动定理,4、应用质心运动定理,例 题 2, 动量定理应用举例,4、应用质心运动定理,例 题 2, 动量定理应用举例,电动机的外壳和定子的总质量为 m1, 质心 C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2 ，质心 O2 与转轴不重合 ，偏心距 O1O2 = e。转子以等角速度旋转。如果底座与基础之间没有螺栓固定，初始条件为 ： 0，vO2x = 0, vO2y=e,求： 1、电动机跳起的条件； 2、外壳在水平方向的运动规律。,例 题 3, 动量定理应用举例,解：1、选择包括外、壳、定子、转子的电动机作为研究对象，

5、分析系统的受力：,定子所受重力m1g;,转子所受重力m2g;,由于底座与基础之间没有螺栓固定，所以没有水平方向约束力，只有约束力Fy、M。,例 题 3, 动量定理应用举例,解： 2、分析运动，确定各个刚体质心的加速度,定系Oxy固结于地面；,外壳作平移，其质心加速度为aO1;,转子作平面运动，其质心加速度由两部分组成： ae=aO1 (牵连加速度，水平方向); ar=aO2=e2 (相对加速度，指向O1)。,动系O1x1y1固结于外壳。,例 题 3, 动量定理应用举例,解：3、应用质心运动定理确定约束力,例 题 3, 动量定理应用举例,解：4、分析电动机跳起的条件；,当偏心转子质心O2运动到最

6、上方时， t =/2,电动机跳起的条件,例 题 3, 动量定理应用举例,例1 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止),动力学,解：取系统为研究对象,动力学,上式求导得：,动力学,动能定理的应用练习题,1图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？,解：研究OA杆,动力学,由,动力学,2行星齿轮传动机构, 放在

7、水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加速度。,动力学,解：取整个系统为研究对象,动力学,将式对t 求导数，得,3两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是 AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。,动力学,解：取整个系统为研究对象,动力学,例1 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。,

8、动力学,讨论 动量守恒定理动能定理求解。 计算动能时，利用平面运动的运动学关系。,动力学,且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。,代入动能定理：,例2 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。,动力学,解：选系统为研究对象,动力学,运动学关系：,由动能定理：,对求导，得,例3 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。,解：（1）取圆盘为研究对象,，圆盘平动。,动力学,（2）用动能定理求速度。 取

9、系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：,代入数据，得,动力学,（3）用动量矩定理求杆的角加速度 。,动力学,盘质心加速度：,杆质心 C的加速度：,动力学,（4）由质心运动定理求支座反力。,代入数据，得,研究整个系统。, 相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆AB在 一般位置进行分析。,动力学,例4 基本量计算 (动量,动量矩,动能),动力学,例1 长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。,解：由于水平方向不受外力， 且初始静止，故质心C铅垂

10、下降。 由于约束反力不作功, 主动力为有势力， 因此可用机械能守恒定律求解。,初瞬时：,由机械能守恒定律：,将 代入上式，化简后得,动力学,任一瞬时：,例7 如图所示，质量为 mA 的均质三棱柱A在重力作用下沿着质量为mB的大均质三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱倾角为q。设各处摩擦不计，初始时系统静止。求：(1) B的加速度；(2) 地面的支反力。,解：先对系统进行运动分析，建立如图坐标，设B的速度为vB，A相对B的速度为vr，则,于是,系统受力如图。因SFx(e)0，且初始系统静止，有,两边对t求导,再以A为研究对象，受力如图，由,有,即,联立求解(1)、(2)、(3)式得,最后以整体为研究对象

11、，得,将（1）式代入上式则得,即,例8 图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的反力。,解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。设A下降的速度为vA，B上升的速度为vB，则由运动学关系得,系统的动量在坐标轴上的投影为,由质点系的动量定理,注意到,可得,七应用举例 例1 均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。,解：选取圆柱为研究对象。(注意只是一个刚体)受力分析如图示。 运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。,动力学,将式代入、

12、两式，有,将上述结果代入式，有,解得：,Dynamics,例2 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O 点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承O的约束力。,解：选T 字型杆为研究对象。 受力分析如图示。,动力学,由定轴转动微分方程,根据质心运动微分方程，得,动力学,例3 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在 绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重 不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。 求： 圆柱B下落时质心的加速度。 若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么 条件下圆柱B的质心将上升。,动

13、力学,选圆柱B为研究对象, ,动力学,解：选圆柱A为研究对象,由、式得：,代入、式得：,由动量矩定理：,(1),补充运动学关系式：,代入(1)式，得,当M 2Pr 时， ，圆柱B的质心将上升。,动力学,再取系统为研究对象,例11 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重 量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求 物体C上升的加速度。,取轮B连同物体C为研究对象,补充运动学条件,化简(1) 得：,化简(2) 得：,动力学,解: 取轮A为研究对象,例12 轮A：m1，r1，轮B： m2 、r2。两轮开始接触时，A轮的角速度为

14、0，B轮处于静止。略去轴承摩擦和杆OA的重量，并设两轮间的动摩擦系数为f，且两轮都可看作均质圆盘。问从A轮放在B轮之上起到两轮没有相对滑动时为止，需经多少时间？,解：先取轮A为研究对象,再取轮B为研究对象,得,设从轮A放在B轮之上起到两轮间无滑动为止所需的时间为t，这时，两轮的角速度分别为,两轮间无滑动,即,解得,代入，得,解： 系统的动量矩守恒。,猴A与猴B向上的绝对速度是一样的, 均为 。,动力学,例7 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？ 动的速度多大？（轮重不计）,解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。,动力学,由动量矩定

15、理：,例6 已知:,运动分析： v =,动力学,解：,例2 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。,结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固结在质心上的平动参考系的相对速度vi，所得结果是一样的。,例如：试计算圆盘对轴O的 动量矩。质点的质量均为m。,例13 A质量为m1，绳子跨过不计质量的固定滑轮D，并绕在鼓轮C上，轮C沿水平轨道纯滚动。鼓轮总质量为m2，对于其水平轴O的回转半径为。求重物A的加速度。,解：分别取重物A和鼓轮C为研究对象,由运动学关系,解得,例14 质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为 的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、f，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。,动力学,解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。 运动分析：取直角坐标系 Oxy aC y =0，aC x =aC， 一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程，有, ，两式中含有三个未知数aC 、F、 ，需补充附加条件。,1设接触面绝对光滑。 因为轮由静止开始运动，故0，轮沿斜面平动下滑。,2设接触面足够粗糙。轮作纯滚动， 所