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1、第三章 函数的应用综合测试题(时间：120分钟分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列函数中没有零点的是()Af(x)log2x3 Bf(x)4Cf(x) Df(x)x22x答案：C解析：由于函数f(x)中，对任意自变量x的值，均有0，故该函数不存在零点2函数f(x)2xm的零点落在(1,0)内，则m的取值范围为()A(2,0) B(0,2)C2,0 D0,2答案：B解析：由题意，f(1)f(0)(m2)m0，0m0，f(1.25)0，f(1.25)0，所以由零点存在性定理，可得方程3x3x80的根落在区间(1
2、.25，1.5)内4下表表示一球自一斜面滚下t秒内所行的距离s的呎数(注：呎是一种英制长度单位)t012345s0104090160250当t2.5时，距离s为()A45 B62.5 C70 D75答案：B解析：由题表可知，距离s同时间t的关系是s10t2，当t2.5时，s10(2.5)262.5.5不论m为何值时，函数f(x)x2mxm2的零点有()A2个 B1个C0个 D都有可能答案：A解析：方程x2mxm20的判别式m24(m2)(m2)240，函数f(x)x2mxm2的零点有2个6已知f(x)2x22x，则在下列区间中，方程f(x)0一定有实数解的是()A(3，2) B(1,0)C(2
3、,3) D(4,5)答案：B解析：f(1)20，f(0)010，在(1,0)内方程f(x)0一定有实数解7设x0是函数f(x)ln xx4的零点，则x0所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案：C解析：f(2)ln 224ln 22ln e10，f(2)f(3)0.由零点存在定理，得x0所在的区间为(2,3)故选C.8已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0答案：B解析：由定义法证明函数的单调性的方法，得f(x)在(1，)为增函数，又1x1
4、x0x2，x0为f(x)的一个零点，所以f(x1)f(x0)00时，f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，f(2)f(3)5的解集；(2)若方程f(x)0有三个不同实数根，求实数m的取值范围解：(1)当x0时，由x65，得10时，由x22x25，得x3.综上所述，不等式的解集为(1,0(3，)(2)方程f(x)0有三个不同实数根，等价于函数yf(x)与函数y的图象有三个不同的交点由图可知，12，解得2m或 m2.所以，实数m的取值范围(2，)(，2) .18. (本小题满分12分)有一小型自来水厂，蓄水池中已有水450吨，水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池向居民小区供
5、水，x小时内供水总量为80吨现在开始向池中注水并同时向居民小区供水，问：(1)多少小时后蓄水池中的水量最少？(2)如果蓄水池中存水量少于150吨时，就会出现供水紧张，那么有几个小时供水紧张？解：设x小时后蓄水池中的水量为y吨，则有y45080x8045080x160(x0)(1)y16(5)250(x0)，则当5，即x5时，ymin50，5小时后蓄水池中水量最少为50吨(2)由题意，45080x160150，可得，即x.10，故有10小时供水紧张19. (本小题满分12分)已知定义在R上的奇函数f(x)在x0时的图象是如图所示的抛物线的一部分(1)请补全函数f(x)的图象； (2)写出函数f(
6、x)的表达式(只写明结果，无需过程)；(3)讨论方程|f(x)|a的解的个数(只写明结果，无需过程)解：(1)补全f(x)的图象如图所示：(2)f(x)(3)当a0时，方程无解；当a0时，方程有三个解；当0a2时，方程有2个解20. (本小题满分12分)某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长记2011年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.(1)找出你认为最适合的函数模型，并说
7、明理由，然后选取11年和13年的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2015年的年产量解：(1)符合条件的是f(x)axb.若模型为f(x)2xa，则由f(1)21a4，得a2，即f(x)2x2，此时f(2)6，f(3)10，f(4)18，与已知相差太大，不符合若模型为f(x)logxa，则f(x)是减函数，与已知不符合由已知得解得所以f(x)x，xN.(2)2015年预计年产量为f(7)713，2015年实际年产量为13(130%)9.1.所以，2015年的实际产量为9.1万件21. (本小题满分12分)已知函数f(x)log4(4x1)kx，(kR)为偶函数(1)求k的值；(2)若函数 f(x)log4(a2xa)有且仅有一个根，求实数a的取值范围解：(1)f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即log4(4x1)kxlog4(4x1)kx，log4log4(4x1)2kx，(2k1)x0，k. (2)依题意知，log4(4x1)xlog4(a2xa)，整理得log4(4x1) log4(a2xa) 2x ，4x1(a2xa)2x.(*) 令t2x，t0，则(*)变为(1a)t2at10.(*)只需其仅有一正根当a1时，t1不合题意；当(*)式有一正一负根
