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1、专题训练一 等腰三角形的存在性问题典藏回顾我们收集、解读近5年全国各地的中考数学压轴题，以全省（市）统一考试的北京、上海、重庆、山西、陕西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市为单位统一考试的江苏、浙江、广东、山东、湖北、湖南、福建、四川、辽宁等地的试题为样本，分析各地考试压轴题的常见类型。等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五年上海、重庆和江苏、浙江、广东、湖北等省份的部分市考到过这个问题，也是上海各区模拟考试的热点专题攻略如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线解等腰三角形的存在性问
2、题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验针对训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果DOP是等腰三角形，求点P的坐标（09上海24） 2如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动在P、Q两点移动过程中，当PQC为等腰三角形时，求t的值（08南汇25） 3如图，直线y2
3、x2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果APQ是等腰三角形，求点P的坐标 三年真题4（12临沂26）如图，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 5（11湖州24）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延
4、长线于点D（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）当点P从O向C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程） 图1 图26（10南通27）如图，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BFy（1）求y关于x的函数关系式； （2）若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ 两
5、年模拟7（2012年福州市初中毕业班质量检查第21题）如图，在ABC中，ABAC10，BC16，DE4动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止过点E作EF/AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），联结DF，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；（2）在这个运动过程中，DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积 8（宁波七中2012届保送生推荐考试第26题）如图，在平面直角坐标系xoy中，矩
6、形ABCD的边AB在x轴上，且AB3，BC，直线y经过点C，交y轴于点G（1）点C、D的坐标分别是C（ ），D（ ）；（2）求顶点在直线y上且经过点C、D的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）平移后是否存在这样的抛物线，使EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 自编原创9如图，已知ABC中，ABAC6，BC8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，ADEB设BD的长为x，CE的长为y（1）当D为BC的中点时，求CE的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果A
7、DE为等腰三角形，求x的值 备用图 备用图参考答案:1因为D（3，4），所以OD5，如图1，当PDPO时，作PEOD于E在RtOPE中，所以此时点P的坐标为如图2，当OPOD5时，点P的坐标为(5，0)如图3，当DODP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0) 第1题图1 第1题图2 第1题图32在RtABC中，.因此.在PQC中，CQt，CP102t. 第2题图1 第2题图2 第2题图3如图1，当时，解得(秒).如图2，当时，过点Q作QMAC于M，则CM.在RtQMC中，解得(秒).如图3，当时，过点P作PNBC于N，则CN.在RtPNC中，解得(秒).综上所述，当t为时，P
8、QC为等腰三角形.3由y2x2得，A(1，0)，B(0，2)所以OA1，OB2如图，由AOBQOP得，OPOQOBOA21设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)因此AP2(2m1)2，AQ2m21，PQ2m2(2m)25m2当APAQ时，AP2AQ2，解方程(2m1)2m21，得或所以符合条件的点P不存在当PAPQ时，PA2PQ2，解方程(2m1)25m2，得所以当QAQP时，QA2QP2，解方程m215m2，得所以 第3题图4（12临沂26）（1）如图，过点B作BCy轴，垂足为C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以点B的坐标为（2）因为抛物线与x轴交于O、A(
9、4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点B，解得 所以抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2, y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得当P在时，B、O、P三点共线当BPBO4时，BP216所以解得当PBPO时，PB2PO2所以解得综合、，点P的坐标为 第4题图5（11湖州24）（1）因为PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到点D的坐标为(2，4m)（2）在APD中，当APAD时，解得（如图1）当PAPD时，解得（如图2）或（不合题意，舍去）当DADP时，解得（如图3）或（不合题意，舍去）综上所述，当APD为等腰三角形时
10、，m的值为，或 第5题图1 第5题图2 第5题图3另解第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如图1，当APAD时，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如图2，当PAPD时，P在AD的垂直平分线上所以DA2PO因此解得（3）点H所经过的路径长为思路是这样的：如图4，在RtOHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P与O重合时，是点H运动的起点，COH45，CGH90第5题图4 第5题图6（10南通27）(1)因为EDC与FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因为CB90，所以DCEEB
11、F因此，即整理，得y关于x的函数关系为(2)如图1，当m8时，因此当x4时，y取得最大值为2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF为等腰三角形，只存在EDEF的情况因为DCEEBF，所以CEBF，即xy将xy 2代入，得m6（如图2）；将xy 6代入，得m2（如图3） 第6题图1 第6题图2 第6题图37（1）， （2）DEF中，DEFC是确定的如图1，当DEDF时，即解得如图2，当EDEF时，解得如图3，当FDFE时，即解得，即D与B重合第7题图1 第7题图2 第7题图3（3）MN是FDE的中位线，MN/DE，MN2，MN扫过的形状是平行四边形如图4，运动结束，N在AC的中点，N到BC的距离为3；如图5，运动开始，D与B重合，M到BC的距离为所以平行四边形的高为，面积为 第7题图4 第7题图58（1）， （2）顶点E在AB的垂直平分线上，横坐标为，代入直线y，得设抛物线的解析式为，代入点，可得所以物线的解析式为 （3）由顶点E在直线y上， 可知点G的坐标为，直线与y轴正半轴的夹角为30， 即EGF30设点E的坐标为，那么EG2m，平移后的抛物线为所以点F的坐标为如图1，当GEGF时，yFyGGE2m，所
