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1、电阻率数据插值加密及成像问题摘要电阻率指标是材料基本特性中的一个指标，数量上反映了材料导电能力的大小。在生活中有很多应用。在实际问题中，由于技术与测量成本等原因，我们不能对一个物体进行密集测量，只能等间隔的选取部分点进行测量。而实际中我们却需要更多位置的数据。接下来，我们就对已有的数据插值加密，解决以下问题：首先利用matlab根据题给出的数据给出以为坐标，以电阻率定义颜色的三维图，用matlab对图像用样条插值、最邻近插值、三次线性插值、三次立方插值四种插值方法插值。以电阻率数据极值与位置不变的条件根据图像。我们选取了极值和位置在插值后都没改变的最邻近插值法和三次线性插值法两种方法。分别建立
2、两种方法的数学模型，用matlab根据所选的两种方法分别计算出的空间（45.8，-32.7，68.2）处的电阻率为：192.0526（最邻近插值法）、192.7989（三次线性插值）。然后用一题给出的两种插值方法分别计算出网格大小为1m*1m*1m的三维电阻率数据，并给出计算流程，根据模型可见，三次线性插值法的计算量要比最邻近插值法多。最后用matlab算出原网格数据的平均值为197.269，标准差为13.7332。采用三次线性插值加密网格后数据的平均值为192.053，标准差为0。采用最邻近插值加密网格后数据的平均值为192.799，标准差为192.799.接着用题目中定义的纯蓝色、纯绿色、
3、纯红色以及它门之间的过渡色来表示加密网格后的每个像素，给出每一幅需要对比显示效果的图，给出的图形如图像4与图像5。用这种方法，利用matlab求出Z=0、50切片的原数据见附录1。两种方法加密网格后数据的颜色对比图如图像6与图像7。对切片X=82，Y=47, Z=88的两种加密方法得到数据的颜色图如图像8。最后对两种插值加密方法的效果，给出定量的指标均方根误差值，计算出最邻近插值法的指标值为0.0773366，三次线性插值法的指标值为0.0880511。根据这两种不同的插值方法的评价为三次线性插值法的误差比最邻近插值的误差大。关键字：三次线性插值法、最邻近插值法、均方根误差法一、问题重述 在实
4、际问题中，由于技术与测量成本等原因，我们不能对一个物体进行密集测量，而只能等间隔的选取部分点进行测量。所以我们要对已知位置的数据进行插值求其他位置的数据。已知某空间三维体电阻率数据，每一行为一个数据点，第一列为x坐标，第二列为y坐标，第三列为z坐标，第四列为对应坐标点的电阻率值。 首先给出两种插值方法对数据进行插值，使坐标网格大小为10m*10m*10m的三维电阻率数据通过插值加密后获得网格大小为1m*1m*1m的数据。给出相应的数学公式，保证插值后的电阻率数据极值（包含最大值和最小值）与插值前的电阻率数据极值相等，极值出现的坐标位置也相同，并对此进行证明。另外，必须保证插值后的电阻率数据三维
5、成像结果与插值前的电阻率数据三维成像结果形态基本一致，只是前者像素更高。然后用所选的两种方法分别计算出空间某点(45.8,-32.7,68.2)处的电阻率数值。接着分别计算出网格大小为1m*1m*1m的三维电阻率数据，给出计算流程，并对两种方法的计算量或计算复杂性进行评估。同时给出原网格数据及采用两种方法加密网格后数据的平均值与标准差。用颜色图对加密网格后的直观效果进行展示。颜色图就是用不同的颜色来表示每个像素。对每一幅需要对比显示效果的图，将最小值置为纯蓝色（RGB为(0,0,255)），中间值置为纯绿色（RGB为(0,255,0)），最大值置为纯红色（RGB为(255,0,0)），中间数值
6、采用过渡的颜色。采用这种方法，对切片Z=0,50分别给出原数据和两种方法加密网格后数据的颜色对比图。另外分别对切片X=82，Y=47, Z=88 ，请给出两种加密方法得到数据的颜色图。最后对不同的插值加密方法的效果，给出定量的指标。对给出的指标，分别计算出采用的两种不同加密方法得到数据的指标值，并给出评价。二、问题假设与符号说明2.1问题假设1、假设原始数据没有误差；2、假设测量数据在同一条件下获取；3、假设插值后数据的条件与原数据获取条件相同2.2符号说明电阻率空间中两点距离;轴坐标；轴坐标；轴坐标；：观测次数；：原数据的电阻率，；：插值后的电阻率，；：均方根误差；模型的建立与求解问题一：给
7、出两种插值方法对数据进行插值，使坐标网格大小为10m*10m*10m的三维电阻率数据成为网格大小为1m*1m*1m的数据。给出相应的数学公式，保证插值后的电阻率数据极值（包含最大值和最小值）与插值前的电阻率数据极值相等，极值出现的坐标位置也相同，并对此进行证明。另外，必须保证插值后的电阻率数据三维成像结果与插值前的电阻率数据三维成像结果形态基本一致，只是前者像素更高。问题分析与思路：（1）画出所给数据的三维图，然后对图形进行四种插值。（2）计算四种方法插值后的电阻率数据极值和位置与原来的极值和位置是否发生改变，选取出没有改变的两种插值方法。（3） 用所选的两种方法分别计算出空间（45.8，-3
8、2.7，68.2）处的电阻率数值。模型建立：1、最邻近插值法：这样对于任何一个电阻率值P都有它所对应的坐标这三个参数，其表达式为： 任何一个电阻率值P都可以由这三个参数张成的三维空间中的一个点来表示，该空间中任意两点之间距离可以表示为欧几里得距离，即对空间中任意两点它们之间的距离为：可以认为该空间中两点之间的距离越近，属性值的差异就越小，因此可以使用离未知点最经的已知点的电阻率值来估计未知值，也就是最邻近插值。设插值点到周边邻点 的距离为，则，距离公式的一般化为：对于一个目的像素，设置坐标通过反向变换得到的浮点坐，其中均为浮点坐标的整数部分，为浮点坐标的小数部分，是取值0,1）区间的浮点数，则
9、这个像素得值）可由原图像中坐标为 所对应的周围四个像素的值决定，即；2、三次线性插值法：先沿轴插值： 再沿轴进行插值： 最后沿轴插值： 求得：； ； ； ； ；模型求解：根据所给数据，利用matlab画出的图像如下：图像一 :原数据图像对图像一分别进行样条插值、最邻近插值、三次线性插值、三次立方插值四种方法插值。由matlab计算出，最邻近插值法与三次线性插值法的极值与位置都没发生改变，所以我们选取这两种方法进行计算。插值后的图像为：图像二：最邻近插值法插值后图像图像三： 三次线性插值插值后图像接下来，用选出的两种方法通过matlab计算出空间（45.8，-32.7,68.2）处的电阻率为：表
10、1：两种插值方法计算出（45.8，-32.7,68.2）处的电阻率最邻近插值法三次线性插值电阻率192.0526192.7989问题二：利用（1）中两种方法计算出的网格大小为1m*1m*1m的三维电阻率数据，给出计算流程，同时给出原网格数据及采用两种方法加密网格后数据的平均值与标准差。并对两种方法的计算量或计算复杂性进行评估。问题分析与思路：（1）计算出的网格大小为1m*1m*1m的三维电阻率数据；（2）最邻近插值法与三次线性插值法插值的计算流程；（3）给出原网格数据及采用两种方法加密网格后数据的平均值与标准差；（4）对两种方法的计算量或计算复杂性进行评估；模型建立：设为平均值为样本总数，为方
11、差两种方法加密网格后数据的平均值与标准差公式为：平均值： 标准差为： 模型求解：计算出的网格大小为1m*1m*1m的三维电阻率数据见附录；用最邻近插值法与三线性插值法插值的计算流程为： 用matlab求出的原网格数据、最邻近插值法加密网格后数据和三维线性插值法加密网格后数据的平均值与标准差如下：表2：两种方法加密网格前后数据的平均值与标准差平均值标准差原图像197.26913.7332最近邻插值法加密后192.0530三次线性插值法加密后192.799 0模型评估： 三次线性插值被分解为七次线性插值，而一次线性插值各需两次乘法和两次加法，故每计算一个新采样点共要14次乘法和加法。而最邻近插值，
12、又叫零阶插值，算法相对比较简单。问题三：对加密后的网格用不同的颜色来表示每个像素，既采用颜色图展示。对每一幅需要对比显示效果的图，将最小值置为纯蓝色（RGB为(0,0,255)），中间值置为纯绿色（RGB为(0,255,0)），最大值置为纯红色（RGB为(255,0,0)），中间数值采用过渡的颜色，可自行设计。采用这种方法，对切片Z=0,50分别给出原数据，两种方法加密网格后数据的颜色对比图。另外分别对切片X=82，Y=47, Z=88 ，给出两种加密方法得到数据的颜色图。问题分析与思路：（1）用不同的颜色来表示加密网格后的每个像素。按照题目给定义的颜色给出加密前后的对比显示效果的图；（2）采
13、用以上方法，求出Z=0、50切片图与原数据；（3）对比两种方法加密网格后数据的颜色图，看运用哪一种插值方法的颜色图比较清晰；（4）对X=82，Y=47, Z=88做切片，给出并比较两种加密方法得到数据的颜色图；问题求解：按照题目对颜色的要求最小值置为纯蓝色，中间值置为纯绿色，最大值置为纯红色，中间数值采用过渡的颜色，可自行设计。用matlab给出两种方法的加密前后对比显示效果图，如下：图像4：最邻近插值法加密前后对比显示效果图图像5：三次线性插值法加密前后对比显示效果用matlab求出Z=0、50的切片为：图像6；图像7：原数据见附录根据颜色图可见三次线性插值法比最邻近插值法更清晰。然后用ma
14、tlab做出X=82，Y=47, Z=88的切片图为：图像8：（1）X=82（2）Y=47（3）Z=88比较上图可见，在保证插值后的电阻率数据极值与插值前的电阻率数据极值相等，且极值出现的坐标位置也相同的情况下，用三次线性插值法加密的图比用最邻近插值法加密的图更加清晰。问题四：对不同的插值加密方法的效果给出定量的指标。对所给出的指标，分别计算出采用的两种不同加密方法得到数据的指标值，并给出评价。问题分析与思路：（1） 对加密方法的效果给出定量的指标；（2） 计算出所选的两种加密方法得到的数据的指标值；（3） 通过指标值对两种方法进行评价；模型建立：均方根误差是观测值与真值偏差的平方和观测次数比
15、值的平方根，在实际测量中，观测次数总是有限的，真值只能用最可信赖值来代替，方根误差能够很好地反映出测量的精密度。首先按照原数据给出的坐标值的顺序对其对应的电阻率进行编号，观测次数，设原数据的电阻率为，用matlab按坐标顺序取出插值后的电阻率设为，为均方根误差。均方根误差为：模型求解：利用matlab求出均方根误差的值为：表2：最邻近插值法三次线性插值均方差0.07733660.0880511由上表可见的最邻近插值均方根小于三次线性插值的均方根，所以说三次线性插值法的误差比最邻近插值的大。模型比较（1）在计算量方面：三次线性插值被分解为七次线性插值，而一次线性插值各需两次乘法和两次加法，故每计算一个新采样点共要14次乘法和加法。而最邻
