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1、本文由 SCIbird 排版整理 数学分析三大基本思想之变换 SCIbird 说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结 论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。 说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结 论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。 本章介绍数学分析中的三大基本思想之变换。 广义的变换应该作为一种思想 来理解，即对某个数学对象进行操作，转化为另一个对象，要求后者相对容易 处理。 本章介绍数学分析中的三大基本思想之变换。 广义的变换应该作为一种思想 来理解，即对某个数学对象进行操作，转化为
2、另一个对象，要求后者相对容易 处理。 我们在中学已经接触到一些简单的变换， 如三角变换和万能公式。 进入大学 学习数学分析或微积分，接触到求极限方法的等价无穷小代换也是变换的一种。 像微分理论中的罗比达法则，积分理论中的第一、二类换元法，级数理论中的 算术平均求和法（即 我们在中学已经接触到一些简单的变换， 如三角变换和万能公式。 进入大学 学习数学分析或微积分，接触到求极限方法的等价无穷小代换也是变换的一种。 像微分理论中的罗比达法则，积分理论中的第一、二类换元法，级数理论中的 算术平均求和法（即1C 求和法，例如求和法，例如 Fourier 理论中的费耶和） ，常微分方程 中的分离变量法、
3、常数变易法和积分因子法等等，都是变换思想的具体表现。 理论中的费耶和） ，常微分方程 中的分离变量法、常数变易法和积分因子法等等，都是变换思想的具体表现。 从实用角度看，最常见的线性变换，这方面内容在线性代数课程中有详细 论述。后来人们进一步抽象出线性算子，并把它推广到无穷维线性空间，这些 内容可以在泛函分析课程中学到。需要指出，非线性变换也是存在的，而且更 普遍，处理起来也更困难。数学分析作为基础课程，主要以处理线性变换为主 （包括逆变换） ，微分学的精髓就是函数增量的线性主部，站在算子角度，微分 是线性变换的一种。另外，不少非线性变换的处理方法是从线性变换中衍生出 来的，这就更体现出线性变
4、换的重要性。 从实用角度看，最常见的线性变换，这方面内容在线性代数课程中有详细 论述。后来人们进一步抽象出线性算子，并把它推广到无穷维线性空间，这些 内容可以在泛函分析课程中学到。需要指出，非线性变换也是存在的，而且更 普遍，处理起来也更困难。数学分析作为基础课程，主要以处理线性变换为主 （包括逆变换） ，微分学的精髓就是函数增量的线性主部，站在算子角度，微分 是线性变换的一种。另外，不少非线性变换的处理方法是从线性变换中衍生出 来的，这就更体现出线性变换的重要性。 还是用几个具体的“变换例子”来说明吧。首先说说不定积分，这方面技 巧非常多，很多教材都单独列出一节讲一些经典的不定积分技巧，比如
5、有理函 数如何积分，某些根式如何积分等等。其中使用得最多的是第一类换元积分法 和第二类换元积分法。 前者， 主要是微分公式 还是用几个具体的“变换例子”来说明吧。首先说说不定积分，这方面技 巧非常多，很多教材都单独列出一节讲一些经典的不定积分技巧，比如有理函 数如何积分，某些根式如何积分等等。其中使用得最多的是第一类换元积分法 和第二类换元积分法。 前者， 主要是微分公式()d uvvduudv=+经过移项变换， 得到 经过移项变换， 得到 ()udvd uvvdu= 再求逆变换（积分）的结果再求逆变换（积分）的结果 udvuvvdu= 变换的指导精神是不定积分变换的指导精神是不定积分vdu比
6、较容易求出。比较容易求出。 本文由 SCIbird 排版整理 关于第二类不定积分换元法，通常涉及反函数，很多书中给的条件并不一 致。 数学分析习题课讲义中收录了下面的定理： 关于第二类不定积分换元法，通常涉及反函数，很多书中给的条件并不一 致。 数学分析习题课讲义中收录了下面的定理： 设设( )f x 有原函数，函数有原函数，函数( )xx t=可微且有函数可微且有函数( )tt x=满足满足( ( )x t xx, 若 , 若 ( ( )( )( )f x t x t dtF tC=+ 则有 则有 ( )( ( )f x dxF t xC=+ 证明：已知证明：已知 ( )f x 有原函数，记
7、为有原函数，记为( )U x ，则有，则有( )( )U xf x=. 又已知又已知 ( )( ( )( )F tf x t x t= 由复合函数求导法则得到由复合函数求导法则得到 ( ( ) ( ( )( )( ( )( )( ) dU x t U x t x tf x t x tF t dt = 因此因此( ( )U x t与与( )F t只相差一个常值函数只相差一个常值函数 ( ( )( )U x tF tC=+ 将将( )tt x=代入，且利用恒等式代入，且利用恒等式( ( )x t xx，于是就有，于是就有 ( ( ( )( )( ( )U x t xU xF t xC=+ 对上面两
8、边求导可知对上面两边求导可知 ( ( ) ( )( ) dF t x U xf x dx = 于是我们证明了于是我们证明了 ( )( ( )f x dxF t xC=+ 一般教材上使用第二换元积分法时要求：可微函数一般教材上使用第二换元积分法时要求：可微函数( )xx t=存在“反函数存在“反函数 ( )tt x=”关系。显然，若反函数存在，则自然满足恒等式”关系。显然，若反函数存在，则自然满足恒等式( ( )x t xx. 但反过 来满足恒等式 但反过 来满足恒等式( ( )x t xx并不意味着反函数存在。上面的定理实际上说明：只 需要函数 并不意味着反函数存在。上面的定理实际上说明：只
9、需要函数( )xx t=可微且有函数可微且有函数( )tt x=满足恒等式满足恒等式( ( )x t xx, 即可使用第二 换元积分法。无须反函数存在或单调性假设。 即可使用第二 换元积分法。无须反函数存在或单调性假设。 第二换元积分法主要是“一阶微分形式不变性”的体现，目的是简化被积 函数的结构，使得容易求解。这两类换元积分法可以推广到一元定积分理论中， 这里不细说了，详细内容请参考数学分析新讲 。重积分中也有换元积分公式， 但根据经验，高维积分换元主要是为了将积分域变得简单，一维积分换元主要 是为了将被积函数变得简单，这一点区别要注意。 第二换元积分法主要是“一阶微分形式不变性”的体现，目
10、的是简化被积 函数的结构，使得容易求解。这两类换元积分法可以推广到一元定积分理论中， 这里不细说了，详细内容请参考数学分析新讲 。重积分中也有换元积分公式， 但根据经验，高维积分换元主要是为了将积分域变得简单，一维积分换元主要 是为了将被积函数变得简单，这一点区别要注意。 本文由 SCIbird 排版整理 尽管不定积分的技巧非常多，但必须指出，大部分初等函数是积不出来的， 即原函数是非初等函数。比如下列积分 尽管不定积分的技巧非常多，但必须指出，大部分初等函数是积不出来的， 即原函数是非初等函数。比如下列积分 2 22 sin1 ,sin,cos ln x x dxedxdxx dxx dx
11、xx 即便是不涉及超越函数的第一类椭圆积分即便是不涉及超越函数的第一类椭圆积分 222 (1)(1) dx xk x 其原函数也是非初等的。原函数是非初等积分也称不可积。其原函数也是非初等的。原函数是非初等积分也称不可积。 据笔者查阅到的文献，目前还没有判定一个连续函数的不定积分是否为非 初等积分的“万能准则” （充要条件） ，大部分判定定理只能针对某一类函数成 立。比如下面的定理 据笔者查阅到的文献，目前还没有判定一个连续函数的不定积分是否为非 初等积分的“万能准则” （充要条件） ，大部分判定定理只能针对某一类函数成 立。比如下面的定理 （定理）设（定理）设,f g为有理函数，为有理函数，
12、g不是常值函数，如果不是常值函数，如果 ( ) ( ) g x f x edx 是初等 函数，则存在有理函数 是初等 函数，则存在有理函数h, 使得 使得 ( )( ) ( )( ) g xg x f x edxh x eC=+ . 这个定理的证明涉及微分代数，有兴趣的读者可自行查阅相关文献。这个定理的证明涉及微分代数，有兴趣的读者可自行查阅相关文献。 在积分理论中，有一类非常重要的变换，即含参数变换。在积分理论中，有一类非常重要的变换，即含参数变换。 ( )( )(, )tf x K x t dx= R 这里这里t是参变量，是参变量，(, )K x t称为核函数。这种方法也是定义非初等函数的
13、一种常 见方法， 比如数学分析里非常重要的 称为核函数。这种方法也是定义非初等函数的一种常 见方法， 比如数学分析里非常重要的函数和函数和B函数。 参变量核函数方法的典型 例子有两个，一个是多项式逼近连续函数定理中的 函数。 参变量核函数方法的典型 例子有两个，一个是多项式逼近连续函数定理中的Landau方法方法 1 0 ( )( )() nn P tf xtx dx= 其中核函数为其中核函数为 2 (, )()(1() )n nn K x ttxctx= 另一个例子是，另一个例子是，Fourier求和理论中狄利克雷积分求和理论中狄利克雷积分 1 sin()() 1 2 (,)( ) 1 2s
14、in() 2 m mtx Sx ff tdt tx + = 这里不仅涉及核函数，也涉及到卷积运算。关于卷积运算的进一步内容可参考 卓里奇的数学分析下册。 这里不仅涉及核函数，也涉及到卷积运算。关于卷积运算的进一步内容可参考 卓里奇的数学分析下册。 本文由 SCIbird 排版整理 细细品味积分，发现其是一种加权求和的极限过程，含有平均的意味。很 多函数经过积分处理（比如卷积） ，得到的新函数性质往往比较好，可以进行求 导、积分等光滑运算。其中有一种方法令笔者印象非常深刻，称之为收敛因子 法。下面用例子来说明，考虑广义积分 细细品味积分，发现其是一种加权求和的极限过程，含有平均的意味。很 多函数
15、经过积分处理（比如卷积） ，得到的新函数性质往往比较好，可以进行求 导、积分等光滑运算。其中有一种方法令笔者印象非常深刻，称之为收敛因子 法。下面用例子来说明，考虑广义积分 0 sin ? x dx x + = 我们引入一个收敛因子我们引入一个收敛因子 tx e，然后定义一个新的函数，然后定义一个新的函数 0 sin ( ) tx x tedx x + = 数学分析中证明了新函数数学分析中证明了新函数( ) t有很好的性质，可以积分号下直接求导，于是有很好的性质，可以积分号下直接求导，于是 0 2 1 ( )sin 1 tx texdx t + = + 等式右边的函数可以求出原函数，再利用放缩
16、和无穷过程，不难得到等式右边的函数可以求出原函数，再利用放缩和无穷过程，不难得到 0 sin (0) 2 x dxC x + = 能够熟练地构造收敛因子，并进行微分和积分计算，这可是硬功夫和绝技。 物理大师费曼就特别擅长此法，根据其在自传中回忆，他一直不会用复变函数 中的围道积分方法，所以一直用含参数积分方法（积分号下求导和积分） ，并且 解决了很多数学系棘手的问题。 能够熟练地构造收敛因子，并进行微分和积分计算，这可是硬功夫和绝技。 物理大师费曼就特别擅长此法，根据其在自传中回忆，他一直不会用复变函数 中的围道积分方法，所以一直用含参数积分方法（积分号下求导和积分） ，并且 解决了很多数学系棘手的问题。 微分中比较典型的代表是凑全微分的积分因子法，考虑下面的微分形式微分中比较典型的代表是凑全微分的积分因子法，考虑下面
