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1、 巧求图形的面积和周长 第一部分：知识介绍 巧求图形的面积和周长的方法： 1、平移法 2、差不变 3、旋转法 4、图形的切割拼第二部分：例题精讲【例 1】下图中标出的数表示每边长，单位是厘米它的周长是多少厘米? 【考点】巧求图形的周长。【解析】 长方形的长5+6=11(厘米)，宽1+3=4(厘米)，周长(11+4)2=30(厘米)。【答案】30厘米【例 2】 有个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是平方厘米，求这个大长方形的周长。【考点】巧求图形的周长【解析】从图上可以知道，小长方形的长的倍等于宽的倍，所以长是宽的倍。每个小长方形的面积为平方厘米，所以宽
2、宽，所以宽为厘米，长为厘米。大长方形的周长为厘米。【答案】29厘米【例 3】如右图，计算这个格点三角形的面积。【考点】巧求图形的面积【解析】这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积。矩形面积是64=24 ；直角三角形的面积是：6226 ； 直角三角形的面积是：422=4 ；直角三角形的面积是：422=4 ；所求三角形的面积是：24-（644）=10（面积单位）。【答案】10【例 4】如右图，和都是矩形，的长是厘米，的长是厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方
3、厘米【考点】巧求图形的面积、一半模型【解析】图中阴影部分的面积等于长方形面积的一半，即(平方厘米)。【答案】10【例 5】(2005年口试真题)右图中甲的面积比乙的面积大 _ 平方厘米。【考点】巧求图形的面积【解析】甲的面积白色三角形的面积()(平方厘米)，乙的面积白色三角形的面积()(平方厘米)，所以，甲的面积乙的面积(平方厘米)。【答案】8平方厘米【例 6】用四个相同的长方形拼成一个面积为的大正方形，每个长方形的周长是多少平方厘米？【考点】巧求图形的周长【解析】引导学生思考所求题目的关键是什么。本题的关键是找长方形的长和宽。根据知这个大正方形的边长是10，即长加宽是10，长方形的周长是：(
4、)。【答案】20厘米【例 7】如图所示的四边形的面积等于多少？【考点】巧求图形的面积【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积。我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形 的位置。这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积1212=144。【答案】144【例 8】如图，平行四边形ABCD周长为75厘米以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米.求平行四边形ABCD的面积。【考点】巧求图形的面积【解析】这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE
5、，切掉一个等腰直角三角形BCE。因为角A是45，角D是90，角E是180-45-90 45，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形。四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即772-33220。【答案】20【例 9】如图，平行四边形ABCD周长为75厘米以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米求平行四边形ABCD的面积。【考点】等积变形【解析】因为平行四边形面积等于底与对应高的积，所以有14BC=16 CD，即BC：CD=8：7，而2(BC+CD)=75，所以BC=20，以BC为底，对应高为14，2014=280，所以平行四边形ABCD的面积为280平方厘
6、米。【答案】280平方厘米【例 10】图中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积。【考点】巧求图形的面积【解析】如下图所示，所以阴影部分在图中为四边形EFGH。设阴影部分面积为“阴”平方厘米，正方形内的其他部分面积设为“空”平方厘米。DGH、HMG的面积相等，GCF与GPF的面积相等，FBE与 EOF的面积相等，HAE与HNE的面积相等。阴一空=23=6，阴+空=lO10=100。阴=(6+100)2=53，即阴影部分的面积为53平方厘米。【答案】53平方厘米【例 11】（2011年口试真题）如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形，已知正方形的面积是4平方厘米，长方形ABC
7、D的面积是多少平方厘米？【考点】图形的切割拼【解析】取AB、CD AE的中点，BC的三等分点进行连接，可以把长方形分割成如下图所示，由于取得点都是等分点，分割后7个小正方形的面积都是4平方厘米，10个小等腰直角三角形的面积都是2平方厘米，可以看出长方形ABCD 的面积等于：74+102=48（平方厘米）。【答案】48平方厘米【例 12】如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形。【考点】图形的切割拼【解析】因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方形比原长方形的宽多3厘米，因此我们把原长方形分成20个长4厘米，宽3厘米的小长方形。因为新长方形的长
8、为16厘米，所以原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所以原长方形的宽应增加一个小长方形。可以沿对角线的方向，把它切成k阶梯状的两块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白色部分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形。具体操作中可按下图中的粗线把长方形分两成块，一移一错一对，便可得到如图所示的长为16厘米，宽为15厘米的新长方形【答案】见上图第三部分：课堂检测【检测 1】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。【考点】图形的切割拼【解析】如右图，连接BH、H
9、C，由E、F、G分别为AB、BC、CD三边的中点有AE=EB、BF=FC、 CG=CD。因此S1=S2，S3=S4，S5=S6,而阴影部分面积=S2+S3+S6，空白部分面积 =S1+S4+S5。所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部分面积为28。【答案】28【检测 2】右图中，矩形的边为厘米，为厘米，三角形比三角形的面积大平方厘米，求的长。【考点】巧求图形的面积【解析】(厘米)，(厘米)。【答案】1厘米【检测 3】如图，两个等腰直角三角形重叠在一起，阴影部分为重叠部分，求阴影部分的面积。【考点】用图形的切、割、拼巧求图形的面积【解析】三角形ICF的面积是222=2（平
10、方厘米），三角形BDH的面积是552=12.5（平方厘米），三角形BFG的面积是1262=36（平方厘米），所以阴影部分的面积是36-12.5-2=21.5（平方厘米）。【答案】21.5平方厘米【检测 4】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如右图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树。应怎样分? 【考点】图形的切割拼【解析】【答案】见上图第四部分：家庭作业【作业 1】如下图正方形操场边长100米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地走了一圈，谁走的路长？ 它们各走了多少米？【考点】线段平移法、巧求图形的周长【解析】我们分别求甲、乙的周长。
11、甲的周长可转化为长方形周长（如图），即为（100+50+30）2=360（米）。再求乙的周长。乙的周长等于长方形周长加上2个30米，即为（100+50）2+302=360（米）。所以它俩走的一样长。【答案】一样长【作业 2】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积。【考点】图形的切割拼、巧求图形的面积【解析】把所求三角形扩展置正方形ABCD中。这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF；另外三个分别是：ABE、FEC、DAF，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为1.5cm2，2cm2，1.5cm2。所以，图中阴影部分的面积为：33(1.52+2)=4(cm2)。【答案】4cm2【作业
12、 3】比较图3中的两个阴影部分I和的面积，它们的大小关系 _ 。 【考点】图形的切割拼、一半模型、巧求图形的面积 【解析】I和的面积一样大，都是等于6块的一半。【答案】一样大【作业 4】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。【考点】等积变形、蝴蝶定理【解析】442=8(cm2)。【答案】8cm2【作业 5】如图，正六边形中，阴影部分的面积为平方厘米，则正六边形的面积为多少平方厘米？【考点】图形的切割拼【解析】由图易知，阴影部分的面积为整个正六边形的面积的一半。正六边形的面积是12=2。【答案】2【作业 6】正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分
13、别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积。【考点】图形的切割拼【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：12=2（平方米）。【答案】2平方米【作业 7】如图，正方形ABCD的边长是5，E、F分别是AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积。【考点】图形的切割拼【解析】如下图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是555=5，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5。【答案】5【作业 8】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10。中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【考点】巧求图形的面积【解析】如图所示，将道路平移后的（16-2）（10-2）=112。【答案】112课堂总结： 本讲主要讲的内容是用平移法、旋转法、图形的切割拼、差不变的方法来巧算图形面积。 12 / 13
