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1、向量的大小，也就向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。注：1向量的模是非负实数，是可以比较大小的。向量a=(x,y)，。2 因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB向量CD”是没有意义的。单位向量长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫单位向量做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。负向量如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量,也称为相反向量。零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0零向量的始点和终点重合
2、，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a与b相等，记作a=b规定：所有的零向量都相等。当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关同向且等长的有向线段都表示同一向量。自由向量始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。数学中只研究自由向量。滑动向量沿着直线作用的向量称为滑动向量。固定向量作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。位置向量对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量
3、OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。方向向量直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量设a=（，），b=(，)。加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量的加法OB+OA=OC。a+b=(，)。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0OA-OB=BA.即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x,y) 则a-b=(x-x,y-y).如图：c=a-b以b的结束为起点，a的结束为终点。交换律：a+(-b)=a-b数
4、乘实数和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作a，且a=*a。当0时，a的方向与a的方向相同；当1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的倍当0）或反方向（0）上缩短为原来的倍。实数p和向量a的点乘乘积是一个数。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(a)b=(ab)=(ab)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.数乘向量的消去律： 如果实数0且a=b，那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。需要注意的是：向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b
5、，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a,b并规定0a,b定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作ab。若a、b不共线，则ab=|a|b|cosa，b（依定义有：cosa,b=ab/ |a|b|）；若a、b共线，则ab=ab。向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy。向量的数量积的运算律ab=ba（交换律）(a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)（a+b)c=ac+bc（分配律）向量的数量积的性质aa=|a|的平方。ab=ab=0。|ab|a|b|。（该公式证明如下：|ab|=|a|b|cos| 因为0|cos|1，所以|ab|a|b|）向量的数量积与实数运算的主要
6、不同点1向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)ab。2向量的数量积不满足消去律，即：由ab=ac(a0)，推不出b=c。3|ab|与|a|b|不等价4由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。向量积定义：两个向量a和b的向量积向量的几何表示（外积、叉积）是一个向量，记作ab（这里“”并不是乘号，只是一种表示方法，与“”不同，也可记做“”）。若a、b不共线，则ab的模是：ab=|a|b|sina，b；ab的方向是：垂直于a和b，且a、b和ab按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则ab=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若ab=
7、0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。运算法则：运用三阶行列式设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）则A*B=a b cx1 y1 z1x2 y2 z2向量的向量积性质：ab是以a和b为边的平行四边形面积。aa=0。a平行b=ab=0向量的向量积运算律ab=ba（a）b=（ab）=a（b）a（b+c）=ab+ac.（a+b）c=ac+bc.上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“”号两侧向量的次序。如：a（2b）=b(2a)和c(a+b)=ac+bc都是错误的！注：向量没有除法，“向量AB/
8、向量CD”是没有意义的。三向量混合积定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积ab，再和向量c作数量积(ab)c，向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(ab)c混合积具有下列性质：1三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=V（当a、b、c构成右手系时=1；当a、b、c构成左手系时=-1）2上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=03(abc)=(bca)=(
9、cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)例题正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LBGK？设AE=a向量, AG=a, AD=c, AB=c, CH=b,CK=b有 aa=bb=cc=0, a2=a2, b2=b2 ,c2=c2,ab=ab,ac=-ac,ac=ac, bc=bc. bc=-bc*EH=-a+c+c+b LB=EH/2-b-c=-a-c+c-b/2, GK=-a+c+c+b从*：-a-c+c-b-a+c+c+b=0. LBGK二重向量积由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：二重向量叉乘化简公式及证明向量积和数
10、量积的关系式给定空间内四个向量a、b、c、d，则这四个向量之间满足如下关系：证明：由混合积的性质可知（即把cd看成一个新的向量e，利用性质(ab)e=a(be)）再根据二重向量积的性质可知该公式可用于证明三维的柯西不等式证明：令公式中a=c、b=d，则：设，那么：即等号成立的条件是，即a、b共线（或b=0）向量定理编辑共线定理若b0，则a/b的充要条件是存在唯一实数，使a=b。若设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有x1y2=x2y1。即与平行概念相同x1y2 - x2y1=0零向量0平行于任何向量。垂直定理ab的充要条件是ab=0，即x1x2+y1y2=0。分解定理平面向量分解定理：
11、如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使a=1e1+2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底。定比分点公式定比分点公式（向量P1P=向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数 且不等于-1，使 向量P1P=向量PP2，叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+OP2)/(1+)；（定比分点向量公式）x=(x1+x2)/(1+),y=(y1+y2)/(1+)。（定比分点坐标公式）我们把上面的式子
12、叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理已知0是AB所在直线外一点,若OC=OA+OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线证明：OC=OA+（1-）OB=OA+BO+OB=BA+OBBO+OC=BA即BC=BAA、B、C三点共线重心判断式在ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为ABC的重心。垂心判断式在ABC中，若HAHB=HBHC=HCHA，则H为ABC的垂心。内心判断式在ABC中，若aIA+bIB+cIC=0，且PI=（aPA+bPB+cPC）/（a+b+c），则I为ABC的内心。外心判断式在ABC中，若|OA|=|OB|=|OC|，则O为ABC的外心，此时O满足（OA+OB)AB
13、=（OB+OC)BC=（OC+OA)CA=0。向量空间编辑定义给定域F，一个F上的向量空间是一个F-模。同构给定域F上的两个向量空间V与V ，如果存在一个双射：VV，并且(u+bv)=(u)+b(v)，a, bF，u,vV。这样V与V 便是同构的。映射给两个向量空间V和W在同一个F场，设定由V到W的线性变换或“线性映射” . 这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映像，以 L（V，W） 来描述，也是一个F场里的向量空间。当V及W被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构， 我们称这两个空间为同构；他们根本上是然后相同的。一个在F场的向量空间加上线性映像就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。延伸研究向量空间一般会涉及一些额外结构。额外结构如下：一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为拓扑向量空间。一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。子空间及基
