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1、麦克斯韦方程组,时变场,静态场,缓变场,迅变场,电磁场 (EM),准静电场 (EQS),准静磁场 (MQS),静磁场 (MS),小结： 麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象。,静电场 (ES),恒定电场 (SS),静态场基本概念 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场，是时变电磁场的特例。,静态场与时变场的最本质区别： 静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。,静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场;,静态场,静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。,第3章
2、 静电场及其边值问题解法 The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary Value Problems,静态场的工程应用,一、静电场基本方程与电位方程,静电场的边界条件 静电场边值问题，惟一性定理,喷墨打印机工作原理,选矿器,静态场的工程应用,均匀电场中带电粒子的轨迹,阴极射线示波器原理,磁分离器,回旋加速器,磁悬浮列车,磁录音原理：,3.1 静电场基本方程与电位方程,一、静电场的麦克斯韦方程组,积分形式:,本构关系:,线形、各向同性媒质,静电场:无旋有散场,微分形式：,二、静电场的无旋性与电位,一 、静电场的无旋性,图
3、 2 - 7 电场力作功与路径无关,所以,结论：静电场中电场力作的功与路径无关, 只取决于始点和终点的位置； 静电场是保守场, 也称位场；,利用斯托克斯公式, 可得其微分形式为,上式说明任何静电荷产生的电场, 其电场强度矢量 的旋度恒等于零, 静电场是无旋场。,把单位正电荷从A点移至B点电场力所作的功, 也可称为从A点到B点的电位差,若设B点为 参考点 P, 则,三、电位,1. 电位参考点,静电位不惟一，可以相差一个常数，即,选参考点,令参考点电位为零,电位确定值(电位差),两点间电位差有定值,为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点
4、的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即,选择电位参考点的原则,点电荷及电荷分布于有限区域时，一般选取无限远处； 电荷分布于无限区域时，一般选取有限处； 实际工程中，选取大地表面为参考点；,应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。 同一个问题只能有一个参考点。,常见电位参考点的选取,2. 电位的表达式,对于连续的体分布电荷：,面电荷的电位：,点电荷的电位：,线电荷的电位：,3. 电位差 U,关于电位差的说明,P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功; 电位差也称为电压，可用U 表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。,三、电位
5、方程,电位 满足的泊松方程,当 场中无电荷分布 (即 )的区域:,拉普拉斯方程,拉普拉斯算子,拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式,直角坐标系中:,圆柱坐标系中:,球坐标系中:,(1) 单个点电荷q的电场中任一点的电位:,若令RP, 则,四、电位的计算,A. 应用叠加原理,(2) n个点电荷电场中的电位: ; 应用叠加原理, 对每个点电荷计算电位, 且均取无穷远处为参考点, 则可得,(3) 体、 面、 线电荷场中的电位: 同样利用叠加原理, 可得 ;,面电荷:,线电荷:,体电荷:,C. 解电位所满足的方程；,B.首先由电荷分布计算电场强度，再由线积分求电位；,例1 已知均匀带电球体在球内外的电
6、场分布，求电位分布。,解：,(ra),(ra),当ra时，,当ra时，,例2 设一电荷均匀分布的圆盘, 其半径为a, 电荷密度为s(C/m2)。试求与该圆盘垂直的轴线上一点的电位。,图 2 带均匀面电荷的圆盘,解 如图所示, 取一个宽度为d, 半径为的圆环, 因为d很小, 源点到场点的距离为 。,整个圆盘在z点电位,以无限远处为参考点, 则z点的电位为,（P.70) 例 3.1 4 试求电偶极子电场的电场强度与电位。,图 3.1 - 5 电偶极子,解采用球坐标系, 设原点在电偶极子的中心, 并让z轴与电偶极子轴重合。我们先求远离电偶极子任一点P(r, , )的电位, 再由E=-求电场强度。 设
7、电位参考点在无限远处, 则P点的电位等于+q和-q在该点电位之和, 表示式为,利用余弦定理可得,因为r2l, 故将r1、r2用二项式定理展开, 并略去高阶小项, 得,所以,取矢量 , 其大小等于乘积q2l, 方向由-q指向+q, 该矢量称为电偶极子的电矩, 单位Cm, 简称偶极矩, 即,于是得到,偶极子的电场强度可在球坐标系中对上式求梯度得到,解： 采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。 在带电线上位于 处的线元 ，它 到点 的距离 ， 则,例.3 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。,在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。
8、当 时，上式可写为,当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有,并选择有限远处为电位参考点。例如，选择= a 的点为电位参 考点，则有,例 4 设有两条电荷均匀分布的无限长直线电荷, 线电荷密度分别为l(C/m), 二者相距d(m), 如图2 - B所示。试求空间任意点P(x, y)的电位。,图 两无限长平行直线的电位,先求+l在P点产生的电位,同理可求得-l在P点产生的电位-, 积分路径如图中虚线所示, 故,应用叠加原理, P点的电位应是,上式中的+和-分别表示观察点到+l和-l的垂直距离。当参考点选在两线电
9、荷连线的中点, 即 处, 则得,如果用直角坐标, 并以原点O为参考点, 则P点的电位可表示为,一维电位方程的求解,在均匀介质中，有,电位的微分方程,在无源区域，,例 1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为v(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为0,试用电位微分方程, 求解球内、外的电位和电场强度。 解：设球内、外的电位分别为1和2, 1满足泊松方程, 2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以1、 2均是球坐标r的函数。 ;,(1) 分别列出球内、外的电位方程:,当ra时,当ra时,将上述两个方程分别积分两次可得1、2的通解:,(2) 根据边界条件, 求出积
10、分常数A、B、C、D: 边界条件是: ; r=a, 1=2; ; r=a, r, 2=0(以无限远处为参考点); ; r=0, (因为电荷分布球对称, 球心处场强E1=0, 即Er=0)。 由上述条件, 确定通解中的常数:,例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为0, 区域2中的厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为v(C/m3)的均匀体电荷, 分界面为无限大。试分别求解、区域的位函数与电场强度。,平板形体电荷的几何关系,解设、 、 区域的电位函数分别为1(y)、2(y)、 3(y)。 (1) 分别列出三个区域的电位方程。 在、 两个区域内电位满足拉普拉斯方程, 而第区域的电位满足泊松方程:,将上面三个方程分别分两次可得,由场分布的y=0平面对称性，可知3(y)= 1(-y)，所以我们只需求解1和2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。,(2) 由边界条件确定常数: 边界条件为:,时, 1=2;,(交界面上无自由面电荷);,y=0, 2=0 因体电荷板无限大, 不能选择无限远处为参考点, 这里选择y=0处为参考点。,由场分布的对称性, 2(y)=2(-y) ; 由条件、 可得:,由条件可得,根据公式,可求得三个区域的电场分布:,
