《【师说】2015-2016高中数学人教A版选修2-2课件 1.6 微积分基本定理 第12课时《微积分基本定理》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【师说】2015-2016高中数学人教A版选修2-2课件 1.6 微积分基本定理 第12课时《微积分基本定理》（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、目标导航 1 了解微积分基本定理的内容与含义； 2 会利用微积分基本定理求函数的定积分 1 新知识 预习探究 知识点一 微积分基本定理 一般地，如果 f ( x ) 是区间 a ， b 上的连续函数，并且 F ( x ) f ( x ) ，那么abf ( x) d x F(b) F(a ) 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿 莱布尼茨公式 为了方便，我们常常把 F( b) F ( a) 记为 F ( x) |ba，即abf ( x) d x F(x ) |baF(b) F(a ) 【练习 1 】 241xd x ( ) A 2 ln 2 B 2 ln 2 C ln 2 D ln 2 解析：
2、 ( ln x) 1x， 24 1xd x ln x| 42 ln 4 ln 2 2 ln 2 ln 2 l n 2 ，故选 D . 答案： D 知识点二 计算定积分的步骤 ( 1) 把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差； ( 2) 利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差； ( 3) 分别用求导公式找到 F ( x) ，使得 F ( x) f ( x) ； ( 4) 利用微积分基本定理 ( 牛顿 莱布尼茨公式 ) 求出各个定积分的值； ( 5) 计算所求定积分的值 【练习 2 】 22(1 c os x) d x ( ) A B 2 C 2 D 2
3、解析： (x si n x) 1 cos x ， 22(1 cos x) d x (x s i n x ) |222 si n22 si n22 1 2 1 2. 答案： D 2 新视点 名师博客 1. 对微积分基本定理的理解 ( 1) 微积分基本定理表明，计算定积分abf ( x ) d x 的关键是找到满足F ( x ) f ( x) 的函数 F(x ) ，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F ( x ) ( 2) 牛顿莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数 ( F ( x) 叫做 f ( x ) 的原函数
4、) 的问题，提示了导数和定积分的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法 2 定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上 ，在 x 轴下方的面积为 S 下 则 ( 1) 当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图 ，则 abf ( x ) d x S 上 图 图 ( 2) 当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图 ，则abf ( x ) d x S 下 图 ( 3) 当曲边梯形的面积在 x 轴上方、 x 轴下方均存在时，如图 ，则abf ( x ) d x S 上 S 下 ，若 S 上 S 下 ，则abf ( x ) d x 0. 3 新课堂 互动探究 考点一 利用微积
5、分基本定理求定积分 例 1 求下列定积分： ( 1)12(x2 2x 3) d x ； ( 2) - 0( c os x ex) d x ； ( 3) 02si n2x2d x. 解析： ( 1)12(x2 2x 3) d x 12x2d x 122x d x 123 d x x33|21 x2|21 3x |21253. ( 2) - 0( co s x ex) d x - 0cos x d x - 0exd x si n x |0 ex|0 1e 1. ( 3) s i n2x21 cos x2， 而12x 12si n x 1212cos x ， 02si n2x2d x 021212c
6、os x d x 12x 12si n x |20412 24. 点评： 求简单的定积分关键注意两点： ( 1) 掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解； ( 2) 精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限 变式探究 1 计算下列定积分： ( 1)01(x3 2x ) d x ； ( 2 ) 02(x d os x) d x ； ( 3)121x x 1 d x. 解析： ( 1)01(x3 2x ) d x 14x4 x2|1034. ( 2) 02(x cos x) d x 12x2 si n x |2028 1. (
7、 3) f ( x ) 1x x 1 1x1x 1. 取 F(x ) ln x ln (x 1) lnxx 1， 则 F ( x) 1x1x 1， 所以121x x 1 d x 121x1x 1d x lnxx 1|21 ln43. 考点二 定积分的综合应用 例 2 已知 f ( x ) 是二次函数，其图象过点 ( 1,0 ) ，且 f ( 0 ) 2 ，01f ( x ) d x 0 ，求 f ( x ) 的解析式 解析： 设 f ( x) ax2 bx c( a 0) ， a b c 0. f ( x) 2ax b ， f ( 0) b 2. 01f ( x ) d x 01( ax2 b
8、x c) d x 13ax312bx2 cx |10 13a 12b c 0. 由 得a 32，b 2 ，c 12， f ( x ) 32x2 2x 12. 点评： 微积分基本定理，实际上给出了导数和定积分之间的内在联系，在求解含有参数的定积分问题时，往往要与其他知识联系起来，综合解决一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限 变式探究 2 已知 f ( x) - ax( 12t 4 a) d t ， F ( a ) 01 f ( x ) 3a2 d x ，求函数 F ( a) 的最小值 解 析： f ( x)
9、 - ax( 12 t 4 a) d t ( 6 t2 4a t ) |x a 6x2 4a x ( 6a2 4a2) 6x2 4a x 2a2， F(a ) 01 f ( x) 3a2 d x 01( 6x2 4 ax a2) d x ( 2x3 2 ax2 a2x) |10 a2 2a 2 (a 1)2 1 1 ， 当 a 1 时， F(a ) 最小值 1. 4 新思维 随堂自测 1. 下列积分值等于 1 的是 ( ) A .01x d x B.01(x 1) d x C .011d x D.0112d x 解析：01 1 d x x | 10 1 ，故选 C . 答案： C 2.01(
10、ex 2 x) d x 等于 ( ) A 1 B e 1 C e D e 1 解析： 被积函数 ex 2x 的原函数为 ex x2， 01( ex 2 x) d x ( ex x2) |10 ( e1 12) ( e0 0) e . 答案： C 3.121x1x2 1x3 d x ( ) A ln 2 78B ln 2 72C ln 2 58D ln 2 178解析：121x 1x 2 1x 3 d x ln x x 1 12 x 2 | 21 ln 2 78 ，故选 A . 答案： A 4 已知 f ( x ) 是一次函数，且01f ( x ) d x 5 ， 01xf ( x ) d x
11、176，那么 f ( x) _ _. 解析： 设 f ( x) ax b ( a 0) 则01( ax b) d x 12a b 5 ，01x(a x b) d x 13a 12b 176 ， 由 得 a 4 ， b 3 ，故 f ( x ) 4x 3. 答案： 4x 3 5 计算下列定积分 ( 1)23x 1x2d x ； ( 2) 02( 3x s i n x) d x ； ( 3) 64cos 2x d x. 解析： ( 1 )23x 1x2d x 23x 1x 2 d x x22 ln x 2x |3292 ln 3 6 (2 ln 2 4) 92 ln32. ( 2) 02( 3x s i n x) d x 32x2 cos x |20382 1. ( 3) 64cos 2x d x 12si n 2x | 4612 1 322 34.
