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1、小波滤波,一、连续小波滤波,与传统的Fourier变换不同，小波变换的最大特点就是可以用来描述信号中局部区域的频率特性。因此，人们把它看做是Fourier变换的突破性的进展。在给出小波变换的定义之前，首先考察由下式所给出的时域信号 经冲激函数 卷积变换后的含义，即 根据 函数的定义 。因此，式可被形象地看成透过 函数在b点来观察 时，由于 很窄，故看到的仍是 在b点的值。这一结果在频域中可被解释成原始信号经滤波器过滤后，得到一新函数 。因为作为滤波器时域函数 的频谱,一、连续小波滤波,为常数1，故输出信号 的频谱与原始信号的频谱相同，从而输入和输出信号之间没有发生变化。 当式中的 函数被其他函
2、数 所代替后，可以给出类似的定义。写成一般化形式后，我们有 这里 ， 被称为移位因子； 被称为尺度因子，显然 时尺度变化才有直观的物理意义。此时，如果函数 的Fourier变换 进一步满足条件 ,一、连续小波滤波,由此可推出 具有波动性。又由于在实际应用中所选择的 仅在非常小的局部区域内不为零，因此 便被称之为小波或小波函数。对于小波函数，我们要求它具有紧支集特性，即能量集中于很小的区间内。满足的函数 被称为允许小波， 也被称为函数 的小波变换。,一、连续小波滤波,小波变换的物理意义 由式可以看出 相对于位置参数b的Fourier变换 当 为中心频率为 带宽为 理想带通滤波器时， 为中心频率为
3、 带宽为 理想带通滤波器。,一、连续小波滤波,这样由式给出的小波变换 ，变可以看成是原始信号 经中心频率和带宽随a变化的带通滤波器 滤波后的结果。,一、连续小波滤波,显然当 较大时，滤波器的中心频率移向低频端，且带宽也随之减小，此时的 反映了信号的低频成分； 反之，当 较小时，滤波器的中心频率移向高频端，且带宽也随之增大，此时的 反映了信号的高频成分； 这也就是通常所说的小波变换的变焦特性。 又由于随着频率的不同，所表现信号的细节也不同，故小波变化也被称为信号的多分解率分析。,一、连续小波滤波,几种常见的小波 1. Haar小波 Haar小波是一步连续的小波，它是被Haar于1910年所提出，
4、其定义为,一、连续小波滤波,2.二次B样条小波 样条函数是一类分段光滑的函数，m阶B样条 是由Haar尺度函数 做m次自卷积后所得到的函数。由于 故,一、连续小波滤波,3.Mexico草帽小波 Mexico草帽小波是Gauss函数 的二次导数，它由下式给出 其中的系数是为了满足 的归一化要求,一、连续小波滤波,4.Morlet小波 morlet小波是经常用到的一种复值小波，其定义如下,一、连续小波滤波,根据内积的定义 式做给出的小波变换便可被写成 这里，,一、连续小波滤波,关于小波变化，一个重要的问题就是能否由 来恢复原始信号 ，下面的定理给出了明确的答案。 定理 当小波函数 满足条件时，存在
5、反演公式,二、小波分析的去噪原理,在实际工程应用中，通常所分析的信号具有非线性，非平稳,并且奇异点较多的特点。含噪的一维信号模型可表示为：,其中，f(t)为真实信号，s(t)为含噪信号，e(t)为噪声， 为噪声标准偏差。,二、（1）小波分析的去噪原理,有用信号通常表现为低频信号或是相对比较平稳。而噪声信号通常表现为高频信号。 利用小波对含噪的原始信号分解后，含噪部分主要集中在高频小波系数中，并且，包含有用信号的小波系数幅值较大，但数目少；而噪声对应的小波系数幅值小，数目较多。 基于上述特点，可以应用门限阈值法对小波系数进行处理。（即对较小的小波系数置为，较大的保留或削弱），然后对信号重构即可达
6、到消噪的目的。,小波分解的结构示意图,小波分解系数示意图,（2）小波分解示意图：,（3）一维信号利用小波除噪的步骤,1.小波变换去噪的流程示意图：,小波除噪的具体步骤： (1) 对含噪信号进行预处理,并进行小波分解。选择小波确定分解的层数N,然后对信号s进行N层分解。,四、一维信号利用小波除噪的步骤,(2) 小波分解的高频系数的阈值量化。对第一层到第N层高频系数，选择软阈值或硬阈值量化处理。 () 一维小波重构。根据小波分解的第N层低频系数和第一层到第N层的高频系数，进行一维重构。 在上面的步骤中，最为关键的就是如何选取阈值和如何阈值量化，从某种意义上讲，它直接影响信号去噪的质量。,信号去噪：
7、,在小波变换域上进行阀值处理。,（4）阈值函数和阈值的选取,阈值函数 阈值函数分为软阈值和硬阈值两种。,(1).硬阈值(hard threshol ding) 当小波系数的绝对值大于等于给定阈值时，保持不变，而小于时，令其为。即：,（4）阈值函数和阈值的选取,(2).软阈值(soft threshol ding) 当小波系数的绝对值大于等于给定的阈值时，令其值为减去阈值；而小于时，令其为即：,采用这种阈值方法去噪在实际应用中，已取得了较好的效果，但也存在着一些潜在的缺点，如硬阈值在阈值点不连续，重构可能产生一些震荡；软阈值连续，但估计的小波系数和分解的小波系数有恒定的偏差，直接影响重构信号对真
8、实信号的逼近程度,（4）阈值函数和阈值的选取,阈值的选取 阈值的选择是小波去噪和收缩最关键的一步，在去噪过程中阈值起着决定性的作用：如果太小，施加阈值后小波系数包含太多的噪声分量，达不到去噪效果；反之，则去除了有用部分，使信号失真。 阈值选择方案及对应的MATLAB命令 (1) 固定阈值(sqtwolog),选取的算法是：,（4）阈值函数和阈值的选取,(2) Stein无偏似然估计阈值(rigrsure) 对于给定一个阈值t，得到它的似然估计，再将非似然的t最小化，就得到了所选的阈值。 (3) 启发式阈值(heursure) 它是前两种阈值的综合，是最优预测变量阈值选择，如果信噪比很小时，无偏
9、似然估计的误差交大，此时，采用固定阈值。令：,（4）阈值函数和阈值的选取,进行比较，如果,时采用固定阈值，反之，选择,无偏似然估计。,(4) 极大极小阈值(minimaxi) 它的原理是令估计的最大风险最小化，其阈值选取的算法是：,（5）小波函数的选择,小波变换不象傅里叶变换是由正弦函数唯一决定的，小波基可以有很多种，不同的小波适合不同的信号去噪，对于确定的信号，如果小波选择不当，去噪结果可能相差很远，还有可能丢失有用的信息。 面对各种小波，到底选择哪一种来处理心电信号才能满足医疗上的需要，必须经过大量的仿真研究结果来进行筛选 。 根据大量文献记录B样条函数适合心电去噪： 样条函数是一种非紧支
10、撑正交的对称小波，有较高的光滑性，频率特性好，分频能力强，频带相干小的特性。,（5）小波函数的选择,在信号处理中小波的作用是带通滤波器，且对称和反对称性分别等价为线性相位和广义线性相位。我们知道，当一个带通滤波器不是线性相位或广义线性相位时，它将使通过的信号产生畸变。 从理论和实际应用的观点出发，具有紧支集的小波是最富吸引力的。 B样条是一类基本的样条函数，而它的支撑区是最小的所以，B样条小波是一种合适的选择。,（6） 、小波去噪效果评价,式中yi表示标准原始信号, xi 表示经处理后的估计信号。其中，SNR越大越好, MSE 越小越好。,（7）小波去噪程序,去噪程序流程图,（7）小波去噪程序
11、,（7）小波去噪程序,（7）小波去噪程序,（7）小波去噪程序,程序运行结果：,TR = 0.0708 0.3636 1.0552 SNR = 121.6977 MSE = 0.0024,（8）总结：,通过一些仿真结果来看，选择不同的小波函数和不同的阈值，去噪的效果相差甚远。选择db5小波，默认阈值对心电去噪处理效果较好。该程序与前一程序的不同之处主要是表现在阈值的选取上。 程序的不同之处与仿真结果,（8）总结：,程序的核心部分：,SNR = 131.6340 MSE = 1.6547e-004,去噪评价及仿真结果：,连续小波变换：,格式： coefs=cwt(s,scales,wname) coefs=cwt(s,scales,wname,plot) 说明： s:输入信号 scales: 需要计算的尺度范围 wname:所用的小波基 plot: 用图像方式显示小波系数,谢谢,
