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1、六年级奥数：第五讲 整数问题之一整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：49=410+9，235=2100+310+5，7064=71000+610+4，有时我们用a,b,.表示数字，例如abcde是个五位数，也就是abcde=a10000+b1000+c100+d10+e一、整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整
2、除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质性质1如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设ab）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6丨36，9丨36，6和9的最小公倍数是18，18丨36.如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4 整数a，能分
3、别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被bc整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是bc.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被bc整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征（1）能被2整除的数
4、的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.
5、例1：四位数7a4b能被18整除，要是这个四位数尽可能的小，a和b是什么数字？解：18=29，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；如果b=2，只有a=5，此数是7542；如果b4，只有a3，此数是 7344；如果 b6，只有 a1，此数是 7146；如果b8，只有a8，此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2一本老账本上记着：72只桶，共67.9元
6、，其中处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把67.9写成整数679，它应被72整除.7298，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a3.这笔帐是367.92元.例3在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我
7、们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+616，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+218能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4 四位数74能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55511，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.满足条件
8、的四位数只有两个：7040，7645.例5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个？解：为了使这个数最大，先让前五位是98765，设这个七位数是98765ab，要使它被11整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b4，a0，满足条件的最大七位数是9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）.要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字
9、是0，1，2，3，4中的两个数字. 43-637，37-1126，26-1115，15-114，因此这个数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例6某个七位数1993能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？与上例题一样，有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.199322，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993
10、680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.解二：直接用除式来考虑.2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除.现在用1993000被2520来除，具体的除式如下： 因为 2520-2200320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7 下面这个41位数 能被7整除，中间方格代表的数字是几？解：因为 11111137111337，所以5555555111111和9999999111111都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只
11、要中间的5599能被7整除，原数就能被7整除.把5599拆成两个数的和：55A00B99，其中=A+B.因为7丨55300，7丨399，所以=3+36.注意，记住111111能被7整除是很有用的.例8甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中 每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜？解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就
12、使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值.如果N1，很明显乙必获胜.如果N3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.考虑N7，11，13是本题最困难的情况.注意到100171113，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜
13、.综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13.记住，100171113，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.二、分解质因数一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，.一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，.1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，.例9 （+）=209.在、中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写
14、成两个质数的乘积，即2091119.不论中填11或19，+一定是奇数，那么与是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定内填2.当填19，要填9，9不是质数，因此填11，而填17.这个算式是 11（172）209，11（217） 209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360222335.还可以写成36023325.这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数50
